Независимость событий в примере Бернштейна с правильным тетраэдром

Крымский Экономический Институт

Киевского Национального Экономического Университета

Реферат по дисциплине: «Теория вероятности и математическая статистика»

на тему:

«Независимость событий в примере Бернштейна с правильным тетраэдром»

Выполнил: Апаз С.В.

группа ЭП — 21

Симферополь — 2002

Независимость событий

Понятие независимости является одним из важнейших понятий теории вероятностей.

События, А и В называются независимыми, если

Р (АВ) = Р (А)Р (В). (1.1)

В случае Р (А) = 0 и Р (В) > 0 эквивалентны любому из равенств

Р (А|В) = Р (А), Р (В|А) = Р (В). (1.2)

Определение независимости в форме (1.1) симметрично относительно, А и В; условие (1.1) несколько шире, чем условия (1.2).

Если математическая модель, описывающая некоторые опыт, подобран достаточно хорошо, то независимым события реального опыта соответствуют событиям модели, независимые в смысле определения (1.1). Пусть, например, опыт заключается в том, что один раз бросают две симметричные монеты. В обозначениях положим Щ = {ГГ, РР, РГ, ГР}; А = {ГГ, ГР} - первая монета выпала гербом вверх, В = {РГ, Г} - вторая монета выпала гербов вверх. Предполагая равновероятность элементарных событий, получим Таким образом, Р (АВ) = Р (А)Р (В). события, А и В оказались независимыми в смысле определения (1.1).

Условная вероятность. Независимость событий и испытаний.

Начнем с примеров. Пусть эксперимент состоит в троекратно подбрасывании симметричной монеты. Вероятность того, что герб выпадет ровно один раз, т. е. что произойдет одно из элементарных событий (грр), (ргр), (ррг), в классической схеме равно 3/8. обозначим это событие буков А. Предположим теперь, что об исход эксперимента дополнительно известно, что произошло событие

В = {число выпавших гербов нечетно}

Какова вероятность события, А при этой дополнительной информации? Событие В состоит из 4 элементарных исходов. Событие же, А составляется из 3 исходов события В. в рамках классической схемы естественно принять новую вероятность события, А равной ѕ.

Рассмотрим еще один более общий пример. Пусть задана классическая схема с n исходами. Событие, А состоит из r исходов, событие В из m исходов, а событие АВ содержит k исходов. Вероятность события, А при условии, что произошло событие В, по аналогии с предыдущим примером, естественно определить следующим образом:

Полученное отношение равно, так как

Р (АВ) = k/n

Р (В) = m/n.

Мы можем перейти теперь ко общему определению.

Пусть задано вероятностное пространство Щ, о, Р и пусть, А и В — произвольны события. Если Р (В) > 0, то условная вероятность события, А при условии, что произошло событие В, по определению полагается равной

События, А и В называются независимыми, если Р (АВ) = Р (А) Некоторые свойства независимых событий.

1) Если Р (В) > 0, то независимость, А и В эквивалентна равенству Р (А/В) = Р (А) Доказательство очевидно.

2) Если, А и В независимы, от независимы В и В.

Действительно,

Р (ВВ) = Р (В — АВ) = Р (В) — Р (АВ) = Р (В)(1 — Р (А)) = Р (В)Р (В)

3) Пусть событие, А и В₁ независимы и независимы так же события, А и В₂, при этом В₁В₂ = Ш. Тогда независимы события, А и В₁+В₂.

Следующие равенства доказывают это свойство:

Р (А (В₁+В₂)) = Р (АВ₁+АВ₂) = Р (АВ₂) = =Р (А)(Р (В₁))+Р (В₂)) = Р (А)Р (В₁+В₂)

Как мы увидим ниже, требование В₁В₂ = Ш здесь существенно.

Пусть событие, А означает выпадение герба в первом из двух бросаний симметричной монеты, событие В — выпадение решетки во втором бросании. Вероятность каждого из этих событий равна Ѕ. Вероятность пресечения АВ будет равна

Таким образом, события, А и В независимы.

Пусть событие, А состоит в том, что случайно брошенная точка попала в области, распложенную правее абсциссы а₁, событие В — в том, что точка попал в область расположенную выше ординаты b.

На рисунке обе области заштрихованы. Событие АВ на рисунке заштриховано в клеточку. Очевидно, Р (АВ) = Р (А)Р (В) и, значит, события, А и В независимы.

Легко проверить также, что ели событие В означает, что брошенная точка попала треугольник FCD, то событие, А и В будут уже зависимыми.

События В1, В2,…Вn независимы в совокупности, если для любых 1 = i₁2<�…r = i_n=2,3,…, n

Попарной независимости событий недостаточно для независимости n в совокупности. Это показывает следующий пример.

Рассмотрим такой эксперимент. На плоскость бросается тетраэдр, три грань которого покрашены соответственно в красный, синий и зеленый цвета, а на четвертую нанесены все три цвета событие К означает, что при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая красный цвет, событие С — грань, содержащая синий цвет, и событие З — грань, содержащихся зеленый цвет. Так как каждый из трех цветов содержится на двух гранях, то Р (К) = Р© = Р (З) = Ѕ. Вероятность пересечения любой пары веденных событий равна ј = Ѕ Ѕ, так как любая пара цветов присутсвует только для одной грани. Это означает попарную независимость всех трех событий.

Но:

1. Хеннекен П. А. «Теория вероятности»

2. Гурский Е. И. «Теория вероятности и математическая статистика».

3. Барковский В. В. «Теория вероятности и математическая статистика».