Краевые задачи для алгоритмов приближённого построения заданного режима термообработки проволок на встречных курсах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Курсовая работа

" Краевые задачи для алгоритмов приближённого построения заданного режима термообработки проволок на встречных курсах"

Гомель 2003

Реферат

Курсовая работа 24 страницы, 1 рисунок, 6 источников.

Ключевые слова: термообработка проволок, законы распределения температур проволок, муфельный термоаппарат.

Цель курсовой работы: разработка алгоритма расчёта параметров термопроцесса на встречных курсах с заданным режимом термообработки.

Объект исследования: режим термообработки проволок на встречных курсах.

Предмет исследования: разработка алгоритма расчёта параметров термопроцесса на встречных курсах с заданным режимом термообработки Задача: создание алгоритма.

Вывод: доказана осуществимость форсированного режима термообработки с платообразным нагревом и произвольным монотонным режимом охлаждения.

Предложения: методика расчёта изученных режимов может быть использована для практической цели.

Экономическая эффективность: возможное улучшение технико-экономических показателей соответствующих технических процессов

• Введение

  4

• 1. Физические и математические модели изучаемых термопроцессов и методика их исследования 8
• 2. Простой отжиг проволок на встречных курсах в муфельном термоаппарате 14
• 3. Сложный отжиг проволок на встречных курсах в муфельном термоаппарате 18
• 4. Пример термообработки проволок на встречных курсах 25

• Заключение

  27

• Список источников 28

При производстве нитевидных материалов ответственного назначения широко используется их непрерывная термообработка, обычно сопровождаемая операциями такими как травление, промывка, шлифовка, нанесение покрытий и т. п. Этот комплекс операций обработки осуществляется при равномерной перемотке множества нитей-проволок и их последовательном прохождении через термоаппарат и последующий ряд устройств соответствующей финальной обработки. Непрерывность процесса обеспечивается своевременным наращиванием нитей с резервных исходных катушек, по мере их исчерпания их запаса на данных, и периодическим съёмом мотков с финальных моталок, по мере накопления на них определенного количества продукта. Общая длина ветвей проволок, стягивающих исходные катушки с финальными моталками может измеряться многими десятками метров, а количество параллельно обрабатываемых проволок может исчисляться многими десятками единиц Постоянство формы проволок по траектории их движения через весь агрегат поддерживается торможением сбегающих с исходных катушек ветвей обрабатываемых проволок, а скорость их движения задаётся скоростью их смотки моталками.

В изделиях из термообработанных нитевидных материалов одновременно реализуются два известных эффекта повышения уровня использования полезных свойств материалов: масштабный эффект, обусловленный малыми размерами сечений нитей, и теплофизический эффект, достигаемый операцией термообработки. Улучшаемыми термообработкой свойствами материалов могут быть прочность, пластичность, упругость, твёрдость, износостойкость, циклическая прочность, коррозийная стойкость, светопроводимость, электропроводность. Улучшение комплекса таких свойств обрабатываемого материала достигается в результате определённых изменений его структурно-фазового строения при помощи нагрева и охлаждения. Характер и кинетика каждого из параллельных или последовательных термопревращений данного материала подчиняется законам теплофизики и теплохимии этого материала и характеризуется своими кинетическими постоянными. [2]

Для равновесных термопревращений материала основным параметром, управляющим характером и кинетикой его трансформаций, принято считать удельную внутренюю энергию данного материала, включающую его удельную тепловую энергию и определяемую с точностью до постоянной. Каждое изменение внутреннего строения материала происходит при определённом уровне его внутренней энергии и сопровождается тепловым эффектом с выделением или поглощением определённого количества тепла. Эти количества в сравнении с общими количествами тепла, поглощаемого материалом при нагреве и охлаждении являются небольшими. При охлаждении до своей начальной температуры, материал обычно отдаёт тепла почти столько, сколько он его поглощает. [3]

Промышленное применение получают только такие виды непрерывной термообработки, эффект которых проявляется в достаточно значительном улучшении комплекса определённых полезных свойств продукта и длительность цикла термообработки которых оказывается достаточно малой. Поэтому обсуждаемые термопроцессы можно считать интенсивными, их режимы — форсированными, а структурные состояния обрабатываемых и обработанных материалов — неравновесными или метастабильными.

При интенсивных процессах термообработки существенно зависящими от скорости изменения температуры становятся многие параметры состояния и эволюции материала, включая пороговые температуры, периоды инкубационных состояний, кинетические постоянные термопревращений, их характер, спектр, последовательность и т. п. Пороговые температуры большинства термопревращений твёрдого вещества с увеличением скорости его нагрева возрастают, а с увеличением скорости его охлаждения, наоборот — снижается.

Нагревательными устройствами проволочных термоаппаратов преимущественно служат многоканальные муфельные печи с внешним пламенным или электрическим обогревом муфелей. Средой нагрева служит либо воздух, либо специальный газ, непрерывно подаваемый в каналы муфеля. Режим нагрева проволок контролируется по значениям температуры муфеля в его отдельных точках, а управление этим режимом осуществляется регулированием плотности теплового потока внешнего источника тепла.

Основные качественные отличия различных видов термообработки разных материалов проявляется в соответствующих им режимах охлаждения. При таких видах термообработки, как нормализация, отпуск вполне допустимыми оказываются режимы естественного охлаждения нагретых проволок на воздухе. В этом случае термоаппарат включает только нагревательную печь, а роль охлаждающего устройства выполняет атмосфера и элементы агрегата, с которыми взаимодействуют перематываемые проволоки после прохождения их через печь.

При видах термообработки, именуемых закалкой, применяются ускоренные режимы охлаждения. В этом случае термоаппарат исполняется со специальным охлаждающим устройством, которое призвано обеспечить непрерывный стационарный отвод тепла от множества движущихся проволок в соответствии с закономерностями искомых термопревращений данного охлаждаемого материала. На практике такой ускоренный режим охлаждения достигается в жидких средах, в качестве которых используется вода, растворы солей, щелочей, жидкие углеводороды, эмульсии, расплавы солей и металлов. Состав закалочных жидкостей подбирается экспериментально и адресно для каждого материала и вида его термообработки. Управление режимом охлаждения проволок сводится к поддержанию определенной температуры охлаждающей жидкости и к ее перемешиванию. [4]

Систему, включающую термоаппарат, заполняющую его рабочее пространство рабочую среду и поток обрабатываемых проволок можно отнести к известному классу неравновесных термодинамических систем с непрерывным обменом энергии и массы. Подобной системе даже при строго постоянных однородных граничных условиях, принуждающих ее к осуществлению переносов энергии и массы при определенном прессинге этих граничных условий в подвижных средах могут самопроизвольно возбуждаться волновые явления, возникать динамические структурные образования типа ячеек Бернара, происходить иные аномальные события, скажем, типа торнадо, существенно изменяющие поля температур и скоростей подвижной среды.

1. Физические и математические модели изучаемых термопроцессов и методика их исследования

Основным, базовым термоаппаратом принимаем традиционную многоканальную муфельную печь с газовой средой нагрева и с равномерным внешним обогревом муфеля. Пусть 2L — его длина, Н — среднее межосевое расстояние проволок, r — их радиус, О — центральная точка некоторого канала, Ох — его ось, х[-l; l] - зона обогрева муфеля внешним источником тепла, х[-L; L] - рабочая зона термоаппарата, l< L, — модуль скорости проволок, =2L/v — длительность их прохождения через термоаппарат, — средний уровень кинематических возмущений длительности .

Сдвигом шкалы температур начальную температуру проволок примем за нуль и пусть [о, T^*] - интервал температур рассматриваемой термообработки, — средний уровень возмущений начальной температуры проволок.

Простым отжигом проволок назовём физически упрощённую модель обсуждаемых термопроцессов, основанную на следующих гипотезах:

1. Искомый эффект этой термообработки достигается нагревом проволок до данной максимальной температуры , а качество термообработки определяется уровнем возмущений температуры , ограниченных определённой предельной величиной [].

2. В интервале температур термообработки материал проволок сохраняет неизменными свои плотность и удельную теплоёмкость .

3. Теплоизоляция термоаппарата, столь совершенна, что всё тепло, поступающее из внешних источников, поглощается обрабатываемыми проволоками.

4. Тепловая инерция муфеля намного превосходит тепловую инерцию содержащихся в нём проволок.

5. Тепловые потоки между проволоками и муфелем нормальны к его оси Ох и подчиняется закону теплопроводности Фурье, т. е. пропорциональны соответствующим разностям температур.

6. Плотность теплового потока от внешнего источника тепла постоянна по длине и ширине муфеля.

Математической моделью данного вида термообработки служат уравнения теплового баланса на участке рабочей зоны [x, x+?x] за интервал времени? t при стационарном термопроцессе.

Пусть Т_А =Т_А(х), T_B=T_B(x), T_C=T_C(x) — стационарные распределения температур проволок и муфеля в рабочей зоне х[-L; L]

(1.1)

их приращения на участке рабочей зоны [х; х+?x],

(1.2)

количества массы этих проволок, проходящих за время ?t через данный участок канала,

(1.3)

(1.4)

— количества тепловой энергии, поглощаемой здесь за это время проволоками, А и В,

(1.5)

— среднее количество тепла, поглощаемой одной проволокой на участке рабочей зоны [х; х+?х] за время? t.

При равномерном обогреве муфеля за время? t на данном участке канала в расчёте на одну проволоку поступит количества тепла

(1.6)

Из (1.5) и (1.6) находим, что при муфельном нагреве

(1.7)

В то же время, скорости изменения температур проволок равны

(1.8)

а скорость изменения их средней температуры ровна

(1.9)

следовательно,

(1.10)

(1.11)

при чём i=const, если i=const.

Согласно гипотезе 4°, при стационарном муфельном нагреве проволок количество тепла поглощаемого проволоками, А и В за время ?t на участке рабочей зоны [х; х+?х], пропорциональны этому времени, боковой поверхности проволок и соответствующим разностям температур:

(1.12)

(1.13)

где >0 и 0 — условные коэффициенты теплообмена каждой из проволок, соответственно, с муфелем и с соседней проволокой.

При раздельном движении проволок, А и В в соседних каналах теплообмен между ними возможен только косвенный, через тело муфеля, чему соответствуют значения>0 и = 0. Если же эти проволоки движутся в общем канале, то их косвенный теплообмен будет дополнятся прямым теплообменом, интенсивность которого характеризуется коэффициентом > 0 и пусть

(1.14)

— параметр, определяющий соотношение интенсивностей прямого и косвенного теплообмена проволок для условий данного термопроцесса.

Интенсивность прямого теплообмена проволок можно регулировать различными известными способами, в частности, изменением расстояния между ними. Возможный диапазон такого регулирования, согласно нашим расчётам можно оценить значением g[0; l]. В данном исследовании для соответствующих ориентировочных расчётов будет приниматься значение g=0,5.

Исходный процесс термообработки проволок на параллельных курсах с нагревом в газовой среде считаем определённым с полнотой, достаточной для вычисления соответствующего значения коэффициента . Пусть — аналогичный коэффициент для иного варианта процесса той же термообработки тех же проволок с той скоростью,

(1.15)

— его относительная величина. Значением будут моделироваться такие же условия теплообмена проволок и муфеля, которые имеют место при исходном термопроцессе. При заполнении каналов муфеля жидкой рабочей средой интенсивность теплообмена проволок увеличивается, по крайней мере, на порядок. В ориентировочных расчётах такой вариант термопроцесса будем моделировать значением f=10.

И так, в данном исследовании качественные оценки основных показателей различных вариантов обсуждаемых термопроцессов будем моделировать при следующих значениях параметров:

_

(1.16)

(1.17)

Уравнения баланса тепла для рассматриваемых элементов проволок, А и В можно получить попарно приравнивая величины (1.3), (1.12) и (1.4), (1.13).

(1.18)

Условия данной термообработки проволок на параллельных курсах выражаются соотношениями:

(1.19)

(1.20)

а на встречных курсах — соотношениями

(1.21)

(1.22)

Кроме того, общим является условие, что

(1.23)

Таким образом, для нахождения трёх неизвестных функций Т_А =Т_А(х), T_B=T_B(x), T_C=T_C(x) получена система трех уравнений (1.10), (1.18), решения которых, удовлетворяющие соответствующей комбинации условий (1.19) — (1.23), позволяют единообразно описать и оценить показатели кинетики различных вариантов простого отжига, используя в качестве базовых данных известные параметры некоторого исходного процесса данной термообработки. Сравнение показателей кинетики двух вариантов данной термообработки, отличающихся только направленностью движения соседних проволок, А и В, позволяет выявить неизвестные особенности режимов термообработки проволок на встречных курсах.

2. Простой отжиг проволок на встречных курсах в муфельном термоаппарате

Этот процесс описывается зависимостями (1.10), (1.11), (1.18), (1.21) — (1.23). Условия его осуществления сохраняем идентичными условиям процесса термообработки проволок на параллельных курсах.

В этом случае в рабочей зоне x[-L; L] распределения температур Т_А =Т_А(х), T_B=T_B(x), T_C=T_C(x) проволок А, В и муфеля С удовлетворяют соответствующим условиям симметрии:

(2.1)

Эти условия являются необходимыми условиями обеспечения одинаковых режимов термообработки для всех проволок, независимо от направления их движения и названные зависимости удовлетворяют этим условиям. Проволоки, А и В с начальной температурой, условно принятой равной нулю, вступают в рабочую зону с противоположных сторон:

(2.2)

Исходя из физического смысла задачи, можно предположить, что свою заданную температуру они достигают в обогреваемой зоне муфеля в некоторых точках x = ±h:

(2.3)

Пусть

(2.4)

Итак, каждая из проволок, вступая в термоаппарат с нулевой температурой, его покидает с температурой Т₄. Следовательно, удельное количество тепла, поглощаемого проволокой в термоаппарате — удельная энергоёмкость данного процесса равна

(2.5)

а показатель относительной энергоёмкости

(2.6)

равен

(2.7)

Необходимая для этого энергия поступает из внешнего источника, действующего в зоне, и следовательно,

(2.8)

В этой зоне средняя скорость нагрева проволок

(2.9)

а плотность внешнего теплового потока здесь постоянна и, согласно (1.11) ровна

(2.10)

В периферийных необогреваемых зонах муфеля j=0 и i=0.

При названных условиях и соглашениях систему (1.10), (1.18) преобразуем к виду:

(2.11)

где

(2.12)

Если

К<0,5, (2.13)

то решение системы (2.12), удовлетворяющее всей совокупности названных условий и ограничений, можно выразить следующими зависимостями:

(2.14)

(2.15)

При этом

(2.16)

В зоне обогрева графиками температур Т_А =Т_А(х), T_B=T_B(x), T_C=T_C(x) и средней температуры проволок

(2.17)

являются одинаковые, обращённые выпуклостью вверх параболы с вершинами, соответственно где

(2.18)

(2.19)

. (2.20)

3. Сложный отжиг проволок на встречных курсах в муфельном термоаппарате

Рассмотрим отжиг проволок на встречных курсах и рассмотрим уравнения баланса тепла:

(3.1)

Условимся что

(3.2)

Согласно § 2 температура проволок, А и В, при постоянной плотности потока, нарастает по параболическому закону на отрезке [-h, h]. На этом отрезке проволока, А достигает своей максимальной температуры (см. рис.)

Y

Т^* A ^const

T^*

F (t)

B

X

Рис. 1

Постановка задачи. Пологая, что допустим любой форсированный режим нагрева с условием изотермичности в окрестности максимальной температуры и что задан строго определённый режим охлаждения в ограниченном интервале температур, разработать алгоритм расчета параметров нагрева проволок при их движении встречными потоками.

Пусть T_A(x), T_B(x), T_С(x) — распределение температур проволок A и B, движущихся навстречу друг другу, и муфеля С. Весь путь термообработки проволок A и B разбит на интервалы: [-h, h], [h,], [. Известно, что на интервале [-h, h] при постоянной плотности потока j₀ проволоки нагреваются по параболическому закону, на интервале [h,] проволока A достигает максимальной температуры T^* и сохраняет ее на всем интервале. На интервале [ закон распределения температуры проволоки A: T_A(x)=F (t)=F (). Требуется определить законы распределения температур проволоки B, муфеля С и плотности потока j на интервалах [h,], [. При этом процесс считаем симметричным.

Так как на [h,] проволока A достигает максимальной температуры Т^* то из (3.1) находим закон распределения температуры проволоки В

(3.3)

(3.4)

Учитывая, что T_A=T^*, получаем дифференциальное уравнение, решая которое закон находим изменения температуры проволоки В.

(3.5)

Здесь нам надо определить С=соnst. Для этого отрезок [A, B] обозначим через. Тогда получаем точку и откуда находим начальное условие для проволоки В:

(3.6)

тогда

(3.7)

следовательно

(3.8)

Из этой же системы находим закон распределения температуры муфеля:

(3.9)

откуда получим

(3.10)

Находим плотность потока j (x) из системы (3.1) учитывая Т_А=Т^*, (3.8), (3.10).

(3.11)

Пусть теперь на известен закон распределения температуры проволоки, А (см. рис1):

(3.12)

И пусть для проволоки В известно начальное условие:

(3.13)

Тогда согласно этому закону и начальному условию находим законы распределения температур проволоки В, муфеля и плотности j.

Учитывая уравнение (3.4) находим Т_B(х)

(3.14)

(3.14) является линейным неоднородным уравнением вида [4]

(3.15)

Его решением является

(3.16)

Откуда находим

. (3.17)

Учитывая начальное условие (3.13) находим С=const

(3.18)

Подставляя С в (3.17) находим закон распределения температуры проволоки B:

Из (3.9) определим закон распределения температуры муфеля

(3.20)

Плотность теплового потока j находим из третьего уравнения системы (3.1), учитывая формулы (3.12), (3.19), (3.20).

Согласно второму параграфу на I=[-h; h] плотность потока j₀ постоянная величина. Найдём её.

(3.21)

тогда

(3.22)

Учитывая (3.7) получаем

.

Определим неизвестный параметр .Определить его можно исходя из условия (3)

(3.23)

Перепишем это уравнение это уравнение в виде:

(3.24)

Решается это уравнение методом итераций. Опишем схему решения: если каким-либо способом получено приближённое значение (в качестве можно взять произвольное значение из интервала, содержащего корень; такой интервал можно сделать достаточно малым) корня (3.24), то уточнение корня можно осуществить методом последовательных приближений. Для этого уравнение представляют в виде

(3.25)

Что всегда можно сделать, и притом многими способами, например

(3.26)

где c — произвольная постоянная.

Пусть число есть результат подстановки в правую часть уравнения (3.25):

(3.27)

Итерационный процесс сходится (), если на отрезке [a; b], содержащем корень и его последовательные приближения, выполнено условие

. (3.28)

4. Пример термообработки проволок на встречных курсах

Рассмотрим процесс термообработки проволок на встречных курсах аналогичный рассмотренному в предыдущем параграфе только в качестве закона распределения температуры проволоки, А возьмём закон:

(4.1)

Тогда из системы (3.1) находим, Т_В(х), Т_С(х) и плотность потока j, учитывая начальное условие (3.13).

Из (3.14) получаем

(4.2)

Решая его получаем:

(4.3)

Тогда

(4.4)

(4.5)

Заключение

В курсовой работе было рассмотрено: физические и математические модели термопроцессов на встречных курсах, простой и сложный отжиг проволок на встречных курсах в муфельном термоаппарате.

Приведены: методика исследования физических и математических моделей.

Рассмотрен пример термообработки проволок.

Список источников

1 Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.- М. Издательство «Наука», 1987. — 600 с.

2 Гольдштейн М. И. Специальные стали — М. Издательство «Наука», 1968. — 500 с.

3 Островский О. И. Свойство металлических расплавов — М. Издательство «Наука», 1978. — 660 с.

4. Зиновьев В. Е. Теплофизические свойства металлов при высоких температурах стали — М. Издательство «Наука», 1986. — 350 с.

5 Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — М: Издательство «Вышэйшая школа», 1974. — 250 с.

6 Михалин С. Г. Курс математической физики — М. Издательство «Наука», 1968. — 575 с.