Устойчивость как научная проблема

Итак, мы с вами сформулировали математическое понятие устойчивости. При этом постарались проследить весь путь идеализаций и абстракций. начиная с самого обыденного представления. На самом деле все математические понятия не изощренная игра разума, а лишь рафинированные размышлением наблюдаемые свойства окружающего нас мира. Не следует, конечно, думать, что устойчивость изучается только для получения чувства собственной значимости при поездке в троллейбусе. Троллейбус был выбран в качестве «стартовой точки'¹, только чтобы подчеркнуть связь с обыденными представлениями об устойчивости. На самом же деле проблема устойчивости это весьма серьезный вопрос, возникающий в механике, физике, экономике, биологии и других, подчас совершенно различных, областях деятельности.

Во всех этих сферах вопрос об устойчивости обнаруживает некоторую единую природу, не зависящую от того, устойчивость чего изучается устойчивость ракеты или течения химической реакции, устойчивость популяции или макроэкономической системы. Именно эта единая природа и образует математическое понятие об устойчивости, которое мы и будем далее обсуждать. Для того же, чтобы это понятие было все-таки обрамлено какими-то «ощущаемыми» ассоциациями, мы перечислим ряд наиболее известных задач.

Наверное, первым ярким примером, связанным с проблемой устойчивости, стали исследования Вышнеградского^[1] но устойчивости регуляторов паровых машин. В чем была проблема?

Все вы прекрасно знаете, что практически до конца XIX века основным двигателем в промышленности и в транспорте являлась паровая машина. Первые машины имели довольно низкий коэффициент полезного действия (отношение затрат к результату их работы), но со временем их эффективность стала повышаться. Стала повышаться и мощность этих машин, однако в некоторый момент времени возникла проблема: машины, почти доведенные до совершенства искусством инженерной мысли, начали выходить из строя. Целая серия аварий заставила задуматься над их причиной.

Оказалось, что всему виной устойчивость. Именно исследования Вышнеградского показали, что целый ряд изменений параметров, вроде бы улучшающих работу машин, на самом деле отрицательно сказывается на устойчивости. Например, в целях достижения большей эффективности стали уменьшать трение. Хорошо? Просто отлично! Но фокус в том, что регулятор, в котором уменьшено трение, реагирует, во-первых, быстрее, а во-вторых на более мелкие изменения. Если эти изменения связаны с регулярными внешними воздействиями (например, с вибрацией машин), они начинают «раскачивать» регулятор (а вместе с ним и всю паровую машину), пока дело не кончается катастрофой^[2]. Аналогично обстояло дело с мощностью машин и некоторыми другими параметрами. Подробнее об исследованиях Вышнеградского можно прочитать в учебнике Л. С. Понтрягина [4].

Созданная А. М. Ляпуновым теория устойчивости движения стала важным разделом не только теоретической, но и инженерной механики. Расчет практически всех механизмов включает и расчет их устойчивости. Устойчивость понадобилась и при конструировании ракет (и как устойчивость процессов горения, и как устойчивость движения самой ракеты), и при создании атомных электростанций (тоже представляющих собой автоматически регулируемую систему), и при разработке микроэлектронных устройств.

Знаменитыми стали замечательные исследования А. Н. Крылова об улучшении устойчивости кораблей при морской качке. Особым вниманием математиков пользовалась задача об устойчивости спутника на орбите (не столько в связи с тем. что спутник может с орбиты улететь неизвестно куда, сколько в связи с тем, что неконтролируемые вращения спутника вокруг собственного центра тяжести, сопровождающие его движения, резко усложняют связь с этим спутником с Земли).

Целый фурор произвело в середине XX века открытие того факта, что па устойчивость системы можно влиять с помощью малых вибрационных воздействий. Технически реализованное устройство, позволявшее держать обычный маятник в перевернутом положении (маятник стоял вверх тормашками на тележке, которая периодически двигалась впередназад), стало мировой сенсацией.

Да и сейчас проблема устойчивости остается среди мировых. Современная экономика, в которой финансовые потоки в считанные часы могут быть перенаправлены в любую точку планеты, очень сильно напоминает тот регулятор, который «слишком хорошо¹¹ реагировал на внешние воздействия. Явно наблюдаемая неустойчивость экономики (как «бесплатное приложение» к ее эффективности и мощности) проявляет себя кризисами, поражающими целые континенты. Так что вопрос устойчивости мировой экономической системы сейчас актуален как никогда. К сожалению.

Задания для самостоятельной работы.

• 1. Сформулируйте определения асимптотической и экспоненциальной устойчивости и определение неустойчивости для векторных систем.
• 2. Докажите, что для любых двух норм в пространстве IRⁿ определения устойчивости в смысле этих норм эквивалентны (из устойчивости в смысле одной нормы следует устойчивость в смысле другой нормы).

Каверзные вопросы.

• 1. Как сформулировать понятие устойчивости для уравнения п-го порядка?
• 2. Как сформулировать понятие устойчивости для дискретной системы x_n+i = f{x") {f{x) заданная функция, х € К)? А если х € IRⁿ? А если х 6 2Z? А если х 6 Q, a f (x) отношение двух полиномов?
• 3. Как математически описать положение равновесия и его устойчивость?

'"Нужно обратить внимание на то, что последствия экономической неустойчивости не так страшны в сфере самой экономики (в конце концов, нам не впервой начинать все с нуля), сколько в сфере экологии, где они проявляют себя в разрушении среды обитания человека, да и всего живого. А это мы увы пока восстанавливать практически не умеем.

• [1] И. А. Вышнеградский (1832−1895) русский математик, механик, государствен-ный деятель. Почетный член Петербургской АН. Заложи./! основы теории регулирования хода машин.
• [2] «Любители экспериментов сами могут попробовать одно дело передвинуть (например, с помощью карандаша) по столу из одной точки в другую резинку, а другоедело металлический шарик, у которого трение сопротивления движению существенно меньше. Наверное, первые попытки таких экспериментов окажутся весьманеудачными шарик просто после очередного подталкивания просто слетит на пол.