Обобщённые биномиальные коэффициенты

Определение обобщённых биномиальных коэффициентов и их производящая функция

— это производящая функция для последовательности.

где б — произвольное вещественное число, а — обобщённый биномиальный коэффициент, совпадающий с общим биномиальным коэффициентом дом натурального б.

Дана производящая функция. Найдите последовательность соответствующую данной производящей функции.

Решение.

2 способ.

Воспользуемся формулой:

Из условия задачи следует, что.

если nчетное число.

если n — нечётное число.

В итоге:

• 3). Для какой последовательности является производящей функция:
  • а)
• 2 способ. Воспользуемся формулой (2).

если nчетное число.

если nнечётное число.

В итоге:

Последовательность 1, -1, 1, -1,…

• б)
• 2 способ. Воспользуемся формулой (2).

Последовательность 1, 2, 3, 4,…

• 1. Докажем, что для всех неотрицательных чисел выполняется равенство:
  • а)

Доказательство.

б) Вычислите производящую функцию для последовательности где m — число неотрицательное,.

nнатуральное.

Воспользуемся формулой (2).

2. Пустьчисла решения уравнения.

.

в целых натуральных числах, производящая функция последовательности .

а) Докажите равенство:

Покажем, что.

Рассмотрим, чему равны коэффициенты при в результате произведения:

То есть, коэффициент при равен ,.

б) Найдите формулу для.

Решение.

Воспользуемся формулой (2).

Задача о числе решений уравнения в целых неотрицательных числах

N — это представление n в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями.

Решение.

Рассмотрим функцию Коэффициент при, -это число неотрицательных целых решения уравнения где m, k — фиксированные натуральные числа.

Рассмотрим.

Коэффициент при равен.

То есть, число решений уравнения находится по формуле.

Задача о размене

Сколькими способами можно разменять сумму в рублей, монетами достоинством 1 и 2 рубля? Эту задачу можно сформулировать иначе: сколько неотрицательных целых решений имеет уравнение.

.

Рассмотрим функцию:

Коэффициент приэто число неотрицательных целых решения уравнения.

.

То есть, данная производящая функция соответствует последовательности.

И, например, рассчитаем сколькими способами можно разменять сумму в 100 рублей.

Ответ: 51 способ.