Интеграл Стратоновича. 
Уравнение Стратоновича

При определении интеграла Ито мы исходили из римановой суммы.

отвечающей разбиению отрезка [0; t на п частей 0 = t₀{<…n=t, при этом полагалась равной При этом оказалось, что введенный в рассмотрение интеграл, отвечающий при выполнении определенных условий предельному значению указанной суммы и называемый интегралом Ито, обладает двумя важными свойствами: равенством нулю его математического ожидания и гак называемым изометрическим свойством. Однако при этом выяснилось, что отсутствует возможность интегрирования данного интеграла, но частям. Определим значение?,• теперь следующим образом: =t_i_₁ + X (t_t -tj_j), X e [0; 1]. Если положить теперь X = 0,5 вместо X = 0, то аналогичным образом можно ввести в рассмотрение интеграл, носящий имя российского физика и математика Р. Л. Стратоновича, для которого указанные выше свойства интеграла Ито не выполняются, но зато данный интеграл можно интегрировать по частям^[1]. Соответствующий интеграл обозначается следующим образом:

Из вышесказанного непосредственно вытекает, что наряду с уравнением Ито.

можно ввести в рассмотрение уравнение Стратоновича.

при этом их решения соответствующей задачи Коши совпадают при условии выполнения следующего соотношения:

где Ь'_х означает частную производную по второму аргументу функции b (t, х). Последнее соотношение является чрезвычайно важным, поскольку в определенных случаях позволяет находить решения уравнения Ито через интеграл Стратоновича, для которого реализуем метод классического дифференциального исчисления, а именно метод интегрирования по частям. В качестве примера рассмотрим уравнение Стратоновича и отвечающую ему задачу Коши.

Здесь a (t, x) = 0, b (t, x) = x, и, следовательно, такое же решение будет иметь задача Коши для уравнения Ито следующего вида:

В свою очередь, решение соответствующей задачи Коши для уравнения Стратоновича может быть найдено исходя из классического дифференциального исчисления, а именно:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Таким образом, X_t = Х₀схр (W_t). Используя формулу Иго, нетрудно убедиться, что полученная случайная функция действительно является реше;

нием уравнения Иго dX_t = — X_tdt + X_tdW_v В свою очередь, аналогичным образом легко проверить, что решением уравнения Ито dX_t = X_tdW_t является случайный процесс X_t = X₀expfw^ —^м.

• [1] Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. СПб.: Наука, 1999.