Условия аппроксимации не достаточно для того, чтобы результат разностной схемы приближался к точному ответу при h > 0. В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, нужно выполнение условия устойчивости. Такие схемы можно представить как некоторый линейный оператор, который преобразует значения функции в момент t в значения функции в момент t + ф. Условие устойчивости требует, чтобы собственные числа (вообще говоря, комплексные) этого оператора не превосходили по модулю 1+ch, где с — некоторая константа, при h>0. Если это условие не выполнено, то погрешности схемы быстро возрастают и результат тем хуже, чем меньше шаг. Если выполнены как условие аппроксимации, так и условие устойчивости, то результат разностной схемы сходится к решению дифференциального уравнения.
Разностная задача устойчива, если существуют числа и такие, что при любом и разностная краевая задача имеет только одно решение, причем выполняется условие где — константа, независящая от. Свойство устойчивости можно трактовать как равномерную относительно чувствительность решения разностной краевой задачи к возмущениям правой части.
Если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную и устойчива, то имеет место сходимость. При этом порядок скорости сходимости совпадает с порядком аппроксимации.
Сходимость.
Разностная схема сходится, если .
Если выполняется неравенство, где — константа, независящая от, то говорят, что сходимость имет порядок относительно. Если в разностную аппроксимацию подставим точное решение, то получим:
где — невязка.
Теорема о сходимости разностной схемы: Пусть дифференциальная задача поставлена корректно, разностная схема является корректной и аппроксимирует исходную задачу. Тогда решение разностной схемы сходится к решению исходной задачи, причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.
