Исследование окрестности особой точки методом Фроммера

Содержание Введение

1. Краткие сведения о методе Фроммера

2. Представления фазовых кривых систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи критического направления

3. Аналитический случай

4. Построение примеров, удовлетворяющих методу Фроммера Заключение Список использованной литературы Приложение, А Нахождение характеристических чисел 1 и 2 рода в С++ 41

Введение

В данной дипломной работе мною будет рассмотрен метод Фроммера — эффективный геометрический метод для определения характера интегральных кривых. Этот метод достаточно сложный и имеет недостатки, связанный с громоздкостью исследований, но с другой стороны является эффективным.

Исследование поведения интегральных кривых дифференциального уравнения

(1)

в окрестности изолированной особой точки, которой является начало координат, проводятся при некоторых ограничения на функцию

Один из основных методов исследования предложен Брио и Буке в предположении, что

(2)

где P и Q — ряды, сходящиеся по целым неотрицательным степеням x и y в некоторой окрестности начала координат. Они показывают, что всякое уравнения (1) при условии (2) с помощью локальных замен можно свести к некоторому числу уравнений вида

(3)

где m — целое положительное число, — ряд, сходящийся по целым неотрицательным степеням x и y в некоторой окрестности начала координат,. Уравнение (3) всегда (кроме m=1, — натуральное) имеет единственное решение в виде формального ряда

который сходится, если m=1, и может расходится, если m >1.

При аналогичных ограничениях рассматривается метод Горна. Эффективный геометрический метод для определения характера интегральных кривых дал М.Фроммер. При этом правая часть уравнения (1) рассматривается при несколько более общих ограничениях: P и Q — алгеброидные функции. Исследования проводятся с помощью преобразований, и. Строгое изложение метода было дано А. Ф. Андреевым.

Этот метод имеет недостатки, связанные с громоздкостью исследований, но в аналитическом случае топологическая структура интегральных кривых устанавливается конечным числом шагов. При этом методы Брио — Буке и Фроммера равносильны. В случае если P и Q — непрерывные однородные функции, уравнение (1) приводится к виду

n >0, который исследован Е. В. Воскресенским.

В настоящей работе предлагается метод исследования поведения интегральных кривых уравнения (1), когда непрерывна в области O (0,0), D — некоторая окрестность начала координат, O (0,0) — изолированная особая точка. В случае, когда правая часть уравнения (1) удовлетворяет ограничению (2), излагаемый метод переходит в метод Фроммера.

1. Краткие сведения о методе Фроммера Рассмотрим дифференциальное уравнение

(1.1)

для которого выполнены следующие условия:

a) — непрерывна в области Q и в этой области решения уравнения (1.1) однозначно определяется начальными данными

O (0,0),

O (0, 0) — изолированная особая точка;

б) пусть, O (0,0), L — интегральная кривая, проходящая через точку,. Если эта кривая не имеет вертикальных асимптот, то решение уравнения (1.1), соответствующее начальным данным, представимо в виде, где — однозначная дифференцируемая функция на. Если L имеет вертикальные асимптоты, она также представима в виде на множестве. Если на множестве, то решение уравнения (1.1) представимо в виде на множестве ,

в) пусть, , L — интегральная кривая, проходящая через точку,. Если эта кривая не имеет горизонтальных асимптот, то решение уравнения (1.1), соответствующее начальным данным, представимо в виде, где — однозначно дифференцируемая функция на. Если L имеет горизонтальные асимптоты, она также представима в виде на множестве. Если на множестве, то решение уравнения (1.1) представимо виде на множестве ;

г) пусть, O (0,0); тогда, если соответствующая интегральная кривая L примыкает к особой точке и в достаточно близости к особой точке не совпадает с координатной осью, то она располагается внутри одной из координатных четвертей и представима в виде в достаточной близости к особой точке. Каждая интегральная кривая, пересекающая ось координат при малых x и y, представима в виде или, где и — однозначно дифференцируемые функции.

При условиях а) — г) мы будем изучать поведения поведение интегральных кривых уравнения (1.1) в области .

Рассмотрим ряд теорем и определений, применение которых, поможет построению примеров, удовлетворяющих методу Фроммера.

Теорема 1.1. Пусть. Тогда решение уравнения, соответствующее этим данным при достаточно малых x и y, допускает представление или, где и — однозначно дифференцируемые функции.

Назовём характеристическим числом первого рода функции, если для любой последовательности, , существует единственный (конечный) предел

. (1.2)

Пусть функция, где. Тогда, если для любой последовательности, , существуют единственный предел (конечный или бесконечный)

(1.2*)

то назовём характеристическим числом первого рода функции .

Назовём множество первой характеристической интегральной кривой L в точке. Тогда множество определим как главную первую характеристику этой кривой. Первую характеристику интегральной кривой и характеристические числа, обозначим соответственно символами, , .

Пусть интегральная кривая проходит через точку. Тогда её главную первую характеристику обозначим .

По аналогии с понятием «мера кривизны» Фроммера введём понятие характеристического числа второго рода интегральной кривой уравнения (1.1)

Назовём характеристическим числом второго рода функции, если при существует конечное характеристическое число первого рода и имеется единственный (конечный или бесконечный) предел

.

Аналогично вводится определение характеристического числа второго рода и для — непрерывной и дифференцируемой функции в области .

Теорема 1.2. Для решения уравнения (1.1), удовлетворяющего условиям б), г), существует характеристическое число первого рода, если для любого существуют пределы

(1.3)

; функция имеет конечное число возможных точек разрыва второго рода, а уравнение — конечное число корней.

Доказательство.

Произведем замену в уравнении (1.1). После замены уравнение (1.1) имеет вид

(1.4)

при этом существуют области

(1.5)

проекциями которых на ось являются интервалы .

В каждой из областей — однозначная непрерывная и дифференцируемая функция при если и при если

В области (1.5) интегральные кривые уравнения (1.4) являются монотонными функциями, так как для каждого существуют пределы (1.3) и правая часть уравнения (1.4) сохраняет знак в каждой области из областей (1.5)

Пусть ветвь интегральной кривой уравнения (1.4) находится в одной из областей при если и при если Тогда существует предел функции при (предел ограниченной монотонной функции) — характеристическое число первого рода.

Предположим, что при если и при если ветвь уравнения (1.4) не лежит ни в одной из областей .

Тогда также существует и равен либо, либо

Аналогично сформулируем теорему и для решения уравнения (1.1), представимого в виде (в силу непрерывности каждой ветви).

Теорема 1.3. Для каждого решения уравнения (1.1), удовлетворяющего условиям в), г), существует характеристическое число первого рода, если для любого существуют пределы

(1.6)

; функция имеет конечное число возможных точек разрыва второго рода, а уравнение — конечное число корней.

При выполнении условий теорем 1.2 и 1.3 каждая интегральная кривая, принадлежащая области, имеет первую характеристику в начале координат.

Будем называть множества

;

характеристическими множествами первого рода решения уравнения (1.1).

Теорема 1.4. Для каждого решения уравнение (1.1), имеющего в начале координат конечное характеристическое число первого рода, существует характеристическое число второго рода, если для любого существуют пределы

(1.7)

; функция имеет конечное число возможных точек разрыва второго рода, а уравнение — конечное число корней, — конечное характеристическое число первого рода.

Теорема 1.5. Для каждого решения уравнение (1.1), имеющего в начале координат конечное характеристическое число первого рода, существует характеристическое число второго рода, если существуют пределы

(1.8)

; функция имеет конечное число возможных точек разрыва второго рода, а уравнение — конечное число корней, — конечное характеристическое число первого рода.

При выполнении условий теорем 1.4 и 1.5 каждая интегральная кривая, принадлежащая области и имеющая в начале координат характеристическое число первого рода, имеет вторую характеристику в начале координат.

Будем называть множества

;

характеристическими множествами второго рода решения уравнения (1.1). Если, где v — конечное характеристическое число первого рода, то в этом случае теоремы 1.4 и 1.5 не применимы. Тогда, осуществляя обратную замену, получаем:

;

интегральные кривые этого уравнения, где

— характеристическое число второго рода; v — конечное характеристическое число первого рода.

2. Представления фазовых кривых систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи критического направления Рассмотрим обобщённый степенной ряд

(2.1)

где x, y — вещественные переменные;

.

Допустим, что существует x=a>0, y=b>0 при которых ряд (2.1) абсолютно сходится.

Тогда этот ряд абсолютно сходится в прямоугольнике

.

Функцию, определяемую рядом (2.1), абсолютно сходящимся в прямоугольнике, т. е. будем называть квазианалитической в области, а если число членов, которое содержится в данном выражении, конечно, то квазиполиономом.

Пусть — квазианалитическая функция в области и функция однозначна, следовательно и непрерывна в прямоугольнике, тогда функцию будем называть квазианалитической в области П.

Рассмотрим систему уравнений:

(2.2)

где и — квазианалитические функции в области П вида Будем предполагать выполненными следующие условия:

а),

б) Для всякого положительного числа К имеется конечное число различных показателей — меньших К.

в)

С помощью подстановки можно доказать, что через каждую точку области П, отличную от начала координат, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения

(2.3)

то есть начало координат является изолированной особой точкой уравнения (2.3).

Исследуем задачу представления решения уравнения (2.3) в виде ряда

(2.4)

где

Здесь — представляет собой последовательные возможные порядки кривизны, — соответствующие им конечные ненулевые меры кривизны интегральных кривых.

Ряд (2.4) будем называть специальным рядом или рядом Фроммера.

Определим первый член разложения (2.4). Для этого квазианалитические функции P и Q представляются в специальной, так называемой, нормальной форме:

(2.5)

Квазиполином называется основной частью, а квазианалитическая функция — добавочной частью функции .

Аналогично, для, получим:

(2.6)

Учитывая (2.5) и (2.6), уравнение (2.3) представимо в нормальной форме:

(2.7)

Относительно правой части уравнения (2.3) записанного в нормальном виде (2.7), предположим:

г)

Произведём в уравнении (2.7) преобразование

(2.8)

где — дифференцируемая вблизи нуля функция;

— неотрицательный параметр.

(2.9)

Числитель и знаменатель уравнения (2.9) в каждом члене содержат различные степени x, которые зависят от параметра. Для выяснения вопроса о том, какая из этих степеней является наименьшей, строят характеристическую ломаную следующем образом:

на оси абсцисс откладываем параметр, а на оси ординат — те показатели x, которые могут быть наименьшими при .

Очевидно, что интегральные кривые, совпадающие с осями координат в достаточной близости нуля, или имеющие нулевые и бесконечные порядки кривизны, не могут быть представлены в виде рядов (2.4). Поэтому будем предполагать отсутствие интегральных кривых указанных типов у уравнения (2.3), т. е. требуем выполнения условия г).

Из условия г) следует, что построенный характеристический многоугольник обладает следующими свойствами:

1. существует первые и последние звенья, а промежуточные могут отсутствовать;

2. первое звено является пунктирным и не проходит через начало, а последнее звено будет сплошным и не параллельно оси, так как оно имеет отрицательный угловой коэффициент.

Эти свойства характеристического многоугольник гарантирует отсутствие интегральных кривых уравнения (2.7), имеющих нулевые и бесконечные порядки кривизны или совпадающих с осями координат.

Пусть — характеристические числа, то есть абсциссы вершин характеристического многоугольника. Отсюда следует, что

Подставляя в первой части уравнения (2.9) вместо и сокращая числитель и знаменатель на небольшую возможную степень x, получим

(2.10)

Алгебраическое уравнение:

=0 (2.11)

является уравнением мер кривизны (УМК) для показателя. Каждый действительный корень уравнения (2.11) будет коэффициентом первого члена ряда, который имеет показатель .

Если для всех уравнение мер кривизны не имеет ни одного действительного положительного корня, то дифференциальное уравнение (2.3) не может иметь решения, примыкающего к особой точке О (0;0) из области П.

Найдя все положительные действительные корни (их конечное число) УМК (2.11) для каждого показателя во всех остальных областях мы можем решить вопрос о наличии или отсутствии коэффициента первого члена ряда (2.4), имеющего показатель. Отсутствие коэффициента для всех показателей в области П гарантирует отсутствие решения уравнения (2.3), представимого в виде ряда (2.4).

Введём обозначения Уравнение (2.10) можно переписать в виде

Отсюда следует, что функция равна разности угловых коэффициентов направления поля и касательной к параболе вблизи начала координат О (0;0) и в дальнейшем её будем называть функцией разности.

Аналогичным образом определяется второй член искомого разложения (2.4).

Теорема 2.1. Если, начало координат О (0;0) является особой точкой первой группы (седло, узел, седло — узел), то интегральные кривые уравнения (2.3), примыкающие к особой точке О (0;0), за исключением кривых имеющих нулевые и бесконечные порядки кривизны, можно представить формальными рядами вида (2.4).

Теорема 2.2. Если какой либо показатель ряда (2.4) определяется из коэффициента правой части уравнения, то ряд (2.4) сходится вблизи О (0;0) и является решением данного дифференциального уравнения.

Теорема 2.3. Формальный ряд (2.4) служит асимптотическим представлением некоторой аналитической функции соответствующей правильной О — кривой уравнения (2.3).

3. Аналитический случай Рассмотрим частный случай, когда

(3.1)

где P (x, y) и Q (x, y) — ряды по целым неотрицательным степеням x и y с вещественными коэффициентами, сходящиеся в некоторой фиксированной окрестности Q начала координат.

P (0,0=Q (0,0)=0, O (0,0) — изолированная особая точка.

Построим фиксированную окрестность особой точки.

Выберем настолько малым, чтобы в области были выполнены условия теоремы 1.2. Выберем таким образом, чтобы в области не находилось ни одной изоклины нуля, определяемых ветвями кривой, Тогда в построенной окрестности Q выполнены условия а), б), в), г):

a) в области Q правая часть уравнения вида (3.1) непрерывна и в этой области решения определяются однозначно начальными данными ;

б) пусть, L — интегральная кривая, проходящая через точку. В полосах выполнены условия теоремы 1.2 в силу выбора. Тогда, если, не является ветвью Q (x, y), то решение уравнения представимо в виде. Если ветвь Q (x, y),

то решение уравнения представимо в виде отдельно на полосах Пусть на множестве, то решение уравнения (1.1) представимо в виде на множестве .

Тогда на множестве решение уравнения представимо в виде :

в) пусть, L — интегральная кривая, проходящая через точку. Предположим, что, L не имеет горизонтальных асимптот. Тогда в области решение уравнения представимо в виде так как в этой области не находится ни одной изоклины нуля.

Предположим, что L имеет горизонтальные асимптоты. Тогда в области, принадлежащей и определяемой, как решение так же представимо в виде так как изоклины нуля не расположены в области P не находится ни одной изоклины нуля;

г) пусть O (0,0). Доказательство данного условия аналогично доказательству теоремы 1.1.

Покажем, что выполнены условия теоремы 1.2. Доказательство для теоремы 1.3 проводится аналогично.

Функции P (x, y) и Q (x, y) всегда могут быть представимы в виде

(3.2)

(3.3)

где r, s — целые неотрицательные числа,

и для любой пары чисел (k, m), (l, n) найдутся числа такие, что Из изолированности особой точки O (0,0) следует, что хотя бы одно из чисел и соответственно одно из чисел равно нулю.

В выражениях xP (x, y), xQ (x, y) делаем подстановку получаем

(3.4)

(3.5)

Ряды (3.2) и (3.3) сходятся в области Q и тем более сходятся в области. Тогда ряды (3.4) и (3.5) сходятся в области включая все точки положительной полуоси .

При любом младшие степени x в (3.4) и (3.5) содержат только члены

(3.6)

(3.7)

Построим ломаную Фроммера. Пусть абсциссы вершин этой ломаной. Эти числа называют характеристическими числами первого рода особой точки O (0,0). Они разбивают положительную полуось оси на N+1 интервалов:

Если интервал соответствует простому звену характеристической ломаной, то его называют обыкновенным интервалом, если же он соответствует двойному звену, то его называют особым интервалом оси .

Рассмотрим пределы:

на N+1 интервалах положительной полуоси. Если обыкновенный интервал, то при всех младшую степень содержит лишь один член разложения: либо член вида (3.6), либо (3.7). То есть, в этом случае имеет вид либо

(3.8)

либо, (3.9)

— постоянные, где , — ряды по положительным степеням x, показатели которых линейные функции от v, а коэффициенты постоянны.

Ряды сходятся в области Тогда в первом случае

во втором: причем функция не имеет разрывов второго рода.

Пусть — особый интервал оси, т. е. при всех младшую степень содержат два члена разложения: один из членов разложения вида (3.6) и один из членов разложения вида (3.7).

В этом случае имеет вид ,

где — постоянные, где , — функции той же природы, что и в (3.8) и (3.9). Тогда:

Функция не имеет разрывов второго рода и может иметь в этой области только один корень — называемый особым числом.

Следовательно, выполнены все условия теоремы 1.2.

Покажем, что выполнены условия теоремы 1.4. Аналогично доказывается выполнимость условий теоремы 1.5.

Пусть — конечное характеристическое число первого рода О-кривой уравнения с правой частью вида (3.1). Если =0 то =0, что следует из (1.4).

Пусть. В уравнение (1.1) с правой частью вида (3.1) делаем подстановку при малых х>0 .

— ряды по целым неотрицательным степеням и положительным степеням х, сходящиеся в области

(3.10)

Функции отличаются от функции (3.4) и (3.3), рассмотренных при фиксированном лишь множителем при. В разложении по степеням и х младшие степени х будут содержать члены, обязательно соответствующие членам (3.6) и (3.7), так как взаимное уничтожение в данном случае невозможно в силу того, что они содержат различные степени. Показатели степеней всех остальных членов будут превышать показатель младшей степени не меньше, чем на некоторое число. Исключение имеет место, если или В этом случае, делая обратную замену, получаем

или Интегральные кривые этого уравнения имеют вид, где конечное число первого рода, — характеристическое число второго рода Предположим, что тождество не имеет места, тогда функция

может быть представлена в виде по аналогии с [3]:

(3.11)

постоянное число, — многочлены от с постоянными коэффициентами:

ряды по целым неотрицательным степеням и по неотрицательным неограниченно возрастающим степеням, сходящиеся в области (3.10).

Предположим, что — множество всех различных корней многочленов .

Тогда возможны три случая:

а) 0, в этом случае в силу (3.11) на всех интервалах ;

б) 0, в этом случае в силу (3.11) на всех интервалах ;

в) 0, в этом случае в силу (3.11) на всех интервалах ;

Функция имеет конечное число разрывов второго рода, так как и знаменатель обращается в нуль только в конечном числе точек, являющихся корнями многочлена .

Уравнение имеет конечное число корней: они являются корнями многочлена степени не выше, чем .

Теоремы о мере кривизны в рассматриваются при

4. Построение примеров, удовлетворяющих методу Фроммера Рассмотрим пример:

(4.1)

здесь

Согласно доказанному, между тремя коэффициентами уравнения (4.1) должна существовать определённая связь, необходимая и достаточная для сходимости соответствующего ряда

(4.2)

Это условие имеет вид причём — произвольная постоянная, не равная 0.

Рассмотрим условие сходимости соответствующего ряда (4.2) в одном частном случае, то есть

(4.3)

где ряд сходится вблизи О (0;0),

Линейное преобразование приводит уравнение (4.3) к виду

(4.4)

Далее получим для коэффициентов соответствующего ряда (4.2), получим:

(4.5)

Из (4.5) имеем Где

например

Пусть в уравнении (4.4) число, а не является целым положительным. Тогда (4.5) получим

(4.6)

Пусть соответствующий ряд (2) для О — кривых уравнения (4) сходится. Тогда переходя к пределу (6), получим

(4.7)

Предельное равенство (4.7) является необходимым и достаточным условием сходимости соответствующего ряда (4.2) для О — кривых уравнения (4.4).

При а=0 условие (7) примет вид

(8)

Условие (4.8) обратится в линейное соотношение между конечным числом коэффициентов, если b=0 и — полином.

Пусть теперь а=n. Тогда условие сходимости имеет вид

(4.9)

Если полином b=0, то условие (4.9) обратится в тождество.

Пример.

Условие (4.7) выполняется и поэтому уравнение имеет решение в виде ряда, сходящегося при |x|<1, то есть

.

Далее рассмотрим пример на отыскание характеристических чисел 1,2 рода, пользуясь теоремами из пункта 1.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение

Правая часть уравнения непрерывна в области определения. Проинтегрируем дифференциальное уравнение Изобразим график данной функции.

Рисунок 4.1 — График функции особые решения y=0, x=0.

Решения дифференциального уравнения определяются начальными данными и условия а), б), в) выполняются. Условия г) также выполнимо, так как не существуют ни одной интегральной кривой, примыкающей к особой точке и не совпадающей с координатными осями.

Следуя теоремам, рассмотренным в пункте 1, определим возможные характеристические числа первого рода рассматриваемого уравнения:

Найдём возможные характеристические числа первого рода и для решения уравнения, представимого в виде x=x (y)

Тогда характеристическими множествами первого рода рассматриваемого уравнения будут

Применяя теоремы из пункта 1, найдём возможный характеристические числа второго рода а)

характеристические числа второго рода найдём из уравнения: откуда

б)

Характеристические числа второго рода найдём из уравнения: откуда Следовательно, возможны соприкасающиеся параболы: y=0,x=0.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение Правая часть удовлетворяет условию а). Действительно,

непрерывна в области y>0, x>0 (первая координатная четверть) и ограничена в рассматриваемой области.

Изоклиной нуля является ось x (y=0), а изоклиной бесконечности — ось y (x=0).Следовательно, решение уравнения однозначны и представимы в виде (условие б) и в виде (условие в), также выполнено условие г).

Следуя теоремам из пункта 1, определим возможные характеристические числа первого рода рассматриваемого уравнения.

а) Для решения, представимого в виде

б) Для решения, представимого в виде

следовательно уравнение имеет решение v=1.

Тогда характеристическими множествами первого рода рассматриваемого уравнения будут:

.

Применяя теоремы из пункта 1, найдём возможные характеристические числа второго рода а)

из уравнения найдём характеристические числа второго рода:

б)

из уравнения найдём характеристические числа второго рода:

в)

из уравнения найдём характеристические числа второго рода:

г)

из уравнения найдём характеристические числа второго рода:

е)

в этом случае:

Действительно, Следовательно, Возможные соприкасающиеся параболы рассматриваемого уравнения:

Рисунок 4.2 — Соприкасающиеся параболы для решения

Рисунок 4.3 — Соприкасающиеся параболы для решения

Заключение

В данной работе был рассмотрен один из методов исследования поведения интегральных кривых дифференциальных уравнений, в окрестности особой точки, которой является начало координат, предложенный М.Фроммером. Этот метод достаточно сложный и имеет недостатки, связанный с громоздкостью исследований, но с другой стороны является эффективным. Кроме того, была рассмотрена теория характеристических чисел, важные теоремы и определений, а также частный случай (аналитический) метода Фроммера. Особое место в работе занимает важная тема, связанная с представлением фазовых кривых систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи критического направления, указаны основные теоремы, а также ряд важных определений и примеров.

В практической части дипломной работы, был разобран ряд примеров на исследование окрестности особой точки методом Фроммера, а также примеры на нахождение характеристических чисел. Соответственно, для построения примеров были указаны уже известные факты — определения характеристических чисел, все возможные случаи положения особой точки в данной области, а также ряд теорем, позволяющих упростить задачу об исследовании поведения интегральных кривых.

В программной среде С++ был реализована задача на нахождение характеристических чисел первого и второго рода заданного дифференциального уравнения.

Т.к. описанный метод имеет большое практическое значение в различных областях математики (дифференциальные уравнения, задача на движение газа из распределенного источника в магнитном поле в уравнениях математической физики и т. д.), данная работа, а особенно ее практическая часть (программная реализация) может получить применение для решения задач по исследованию поведения функций в окрестности особой точки.

1. Воскресенский Е. В., Артемьева Е. Н., Белоглазов В. А. Качественные и асимптотические методы интегрирования дифференциальных уравнений / Е. В. Воскресенский. — М.: издательство Саратовского университета, 1988. — 329 c.

2. Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер / М. Фроммер. — М.: Успехи мат. науки. 1941. — 253с.

3. Петровский И. Г. О поведении интегральных кривых системы обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи особой точки /

И. Г. Петровский. — М.: Мат.сб., 1934. — 156 c.

4. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения /

Л. С. Понтрягин. — М.: Наука, 1974. — 331 с.

5. Андреев А. Ф. Особые точки дифференциальных уравнений /

А. Ф. Андреев. — М.: Высшая школа, 1979. — 136 c.

фроммер дифференциальное уравнение

Приложение А

(Обязательное) Нахождение характеристических чисел 1 и 2 рода дифференциального уравнения в C++

#include «iostream»

#include «fstream»

#include «math.h»

#include «conio.h»

#include «stdio.h»

#include «stdlib.h»

using namespace std;

double nu;

double gamma;

double eps = 0.001;

const A = -5; //левая граница отрезка, на котором требуется отделить корни

const B = 5; //правая граница отрезка, на котором требуется отделить корни

double h = 0.001; //шаг

double x;

int N1, N2; //степень многочлена

double CharacterNumber1[3];

double CharacterNum2[3];

//старшая степень числителя

double Numerator (double nu)

{

return 1 — nu/2;

}

//старшая степень знаменателя

double Denominator (double nu)

{

return (2*nu — 1) / 2;

}

//равенство числителя и знаменателя

double NumDenom (double nu)

{

return Numerator (nu) — Denominator (nu);

}

double lim1 (double gamma, double nu)

{

if ((1 + gamma) > eps) return (gamma / (1 + gamma)) — nu * gamma;

if ((1 + gamma) <= eps) return -1;

}

double lim2 (double gamma, double nu)

{

return gamma + pow (gamma, 0.5) — nu * gamma;

}

int main ()

{

//характеристические числа 1 рода

int N1 = 0; //число характеристических чисел 1 рода

nu = A;

while (nu < B)

{

if (((Numerator (nu) > 0) && (Numerator (nu + h) < 0)) ||

((Numerator (nu) < 0) && (Numerator (nu + h) > 0)))

{

CharacterNumber1[N1] = nu+h/2;

N1 = N1 + 1;

}

nu = nu + h;

}

nu = A;

while (nu < B)

{

if (((Denominator (nu) > 0) && (Denominator (nu + h) < 0)) ||

((Denominator (nu) < 0) && (Denominator (nu + h) > 0)))

{

CharacterNumber1[N1] = nu+h/2;

N1 = N1 + 1;

}

nu = nu + h;

}

nu = A;

//равенство числителя и знаменателя

nu = A;

while (nu < B)

{

if (((NumDenom (nu) > 0) && (NumDenom (nu + h) < 0)) ||

((NumDenom (nu) < 0) && (NumDenom (nu + h) > 0)))

{

CharacterNumber1[N1] = nu+h/2;

N1 = N1 + 1;

}

nu = nu + h;

}

//характеристические числа 2 рода

int N2 = 0; //число характеристических чисел 2 рода

gamma = A;

while (gamma < B)

{

if (((lim1(gamma, CharacterNumber1[1]) > 0) && (lim1(gamma + h, CharacterNumber1[1]) < 0)) ||

((lim1(gamma, CharacterNumber1[1]) < 0) && (lim1(gamma + h, CharacterNumber1[1]) > 0)))

{

CharacterNum2[N2] = gamma+h/2;

N2 = N2 + 1;

}

gamma = gamma + h;

}

gamma = A;

while (gamma < B)

{

if (((lim1(gamma, CharacterNumber1[0]) > 0) && (lim1(gamma + h, CharacterNumber1[0]) < 0)) ||

((lim1(gamma, CharacterNumber1[0]) < 0) && (lim1(gamma + h, CharacterNumber1[0]) > 0)))

{

CharacterNum2[N2] = gamma+h/2;

N2 = N2 + 1;

}

gamma = gamma + h;

}

cout<<" Mistake = «<<

cout<<" Characteristic 1:" <

cout<<" «<<

cout<<" «<<

cout<<" «<<

cout<<" Characteristic 2:" <

cout<<" «<<

cout<<" «<<

cin.get ();

return 0;

}

Рисунок А.1 — Полученный результат (с учетом погрешности) Рисунок А.2 — График соприкасающихся парабол