Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений с параметром

Актуальность темы

В данной работе рассматриваются автономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра. Задачей исследования является определение условий существования периодического решения системы с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа.

Проблема нахождения периодического решения является одной из основных проблем теории дифференциальных уравнений. Важность ее обусловлена потребностью практики, поставившей задачу определения условий существования таких решений для нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения широко используются для изучения процессов, происходящих в физических, химических и биологических системах [2, 6, 22, 27, 33, 44, 51, 52]. В частности, системы дифференциальных уравнений с параметром исследуются при анализе экономических моделей. Теория периодических решений позволяет определять условия появления колебательных режимов в этих системах, выяснять характер колебаний, период которых заранее неизвестен.

Такое широкое разнообразие применения теории периодических решений вызывает дополнительный интерес к более глубокому исследованию проблем существования периодических решений систем дифференциальных уравнений, к поиску методов исследования этих проблем.

В случае нелинейных систем дифференциальных уравнений недостаточно изучены условия существования решений, при рассмотрении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов системы. Требует более глубокого рассмотрения вопрос о влиянии параметра на свойства нелинейных систем дифференциальных уравнений, особенно для систем, линейное приближение которых зависит от параметра. В этом случае нельзя построить традиционным способом [8, 11, 18, 24, 54, 55, 74, 75] оператор, который преобразовывал бы периодическую функцию в периодическую. Необходимы методы определения условий существования периодического решения у таких систем дифференциальных уравнений при новых предположениях относительно свойств ее правых частей.

Таким образом, проблема определения условий разрешимости периодической задачи нелинейных систем дифференциальных уравнений с параметром является важнейшей на современном этапе развития математической науки.

Исходя из вышеперечисленного, можно сделать вывод, что определение условий существования периодического решения системы дифференциальных уравнений с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа, является достаточно важной задачей. Все это подтверждает актуальность диссертационной темы.

Цель работы. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида.

0.1) ат в которой у еЕ^, Я е Е, Я — параметр, у/(у, Я) — конечная сумма вектор-форм относительно у, X. Предполагаем, что в некоторой точке [у0>Л) у^у, Л)=0, система уравнений у/{у, Я)-0 имеет решения у = 0.(Я), / е {1,2,., г}, г> 1, Уъ=6,{Я0) такие, что ц/[в (Л), Л)=0, и в окрестности точки в1 (Я) справедливо представление я)=А- {в, (я), Я)(у — 0, (я))+с- (в, (Я), Я, у — в1 (Я))+/У (в, (Я), Я, ув (я)), где С* (в. (Я), Л, у — &-.(Л)) — форма порядка ^ > 1 относительно переменных у-в. }I), Я, 0*(в{ЯЯ, уФ)).

— конечная сумма форм порядка более высокого, чем s, относительно тех же переменных, С*[в.{Я), Я,0)= 0, п*(<�э.(л), л, о)=о.

Ставится задача — определить условия существования сопериодического решения системы (0.1). При этом с5 принадлежит окрестности некоторого известного числа.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Теория периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений разработана в классических трудах А. Пуанкаре [61] и А. М. Ляпунова [47], H.H. Боголюбова [И], в новейших исследованиях современных отечественных и зарубежных математиков [34, 74, 75, 81−87]. Отметим работы В. В. Немыцкого, В. В. Степанова [56], И. Г. Малкина [48, 49], В. А. Плисса [59], М. А. Красносельского [35], исследовавших общие вопросы существования периодических решений систем, A.A. Андронова [4, 5], изучавшего динамические системы на плоскости, а также работы Е. Хопфа, Дж. Хейла [77], H.A. Бобылева [9, 10], С. А. Вавилова [18, 19], Ю. В. Малышева [50], М. Т. Терехина [67−69] и других авторов [3, 17, 57, 58, 63, 64, 85, 87].

Рассмотрим основные методы исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений. Для изучения систем, содержащих малый параметр, А. Пуанкаре, А. М. Ляпуновым был предложен метод малого параметра.

Метод малого параметра был впервые использован А. Пуанкаре в его работах по небесной механике для интегрирования нелинейных уравнений [61]. Идея метода основана на том, что периодическое решение исходной нелинейной системы должно быть близко к одному из периодических решений соответствующей консервативной системы. Последнее решение называется порождающим. Основная задача метода малого параметра в большинстве практических случаев состоит в нахождении порождающего решения и определении малых поправок к нему. Данный метод был развит в работах их последователей [47−50, 52, 74, 75].

Асимптотический метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики для получения приближенных аналитических решений весьма сложных нелинейных дифференциальных уравнений. Наиболее доступными для исследования этим и другими аналогичными методами являются системы с малой нелинейностью.

В книге H.H. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [11] для исследования нелинейных систем широко используется метод усреднения. Он состоит в следующем: исходное уравнение заменяется усредненным, более удобным для исследования. При этом должно соблюдаться важное условие: усредненное уравнение должно описывать главные черты исследуемого процесса.

Для исследования периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений общего вида используются функционально-аналитические методы [53, 59], которые базируются на топологических понятиях теории непрерывных отображений и теории ветвления.

Изучению периодических решений для различных классов нелинейных систем дифференциальных уравнений посвящены также работы Дж. Хейла [77].

В книге Самойленко A.M., Ронто Н. И. [65] предложены численно-аналитический метод последовательного периодического приближения, позволяющий для нелинейной системы дифференциальных уравнений исследовать существование периодического решения, построить и оценить погрешность приближенного решения. Метод тригонометрических полиномиальных приближений, как и численно-аналитический метод последовательных периодических приближений, позволяет решать периодические краевые задачи для нелинейных систем дифференциальных уравнений вида.

У = vit, у), где y/{t, y) — T — периодическая по t вектор-функция, у, у/ gR". Этот метод дает приближенную схему нахождения Т — периодического решения, и исходя из приближенного решения, имеющего вид тригонометрического полинома, позволяет решить вопрос о существовании точного Т — периодического решения.

На основе метода последовательных приближений был предложен ряд итерационных схем исследования периодических решений [65, 66], с помощью которого удается получать аналитическое представление решений большого класса линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений. Предложен метод последовательных тригонометрических приближений для исследования периодических решений.

Численно-аналитические методы открыли перспективы дальнейшего развития конструктивных методов, позволяющих одновременное построение и нахождение условий существования решений периодических задач.

Рассмотрим подробнее некоторые работы, в которых период искомого решения является переменной величиной.

Так, в работе С. А. Вавилова, C.B. Юхневича [19] рассматривается система х = Ах + /иС (х, /j). (0.2).

Предполагается, что невозмущенная система х = Ах имеет периодическое решение периода р* и исследуется вопрос о существовании периодического решения системы (0.2) при всех достаточно малых значениях параметра /л. Период искомого решения p (ju) удовлетворяет условию lim p (fj) — р = 0. Система исследуется путем построения операторных уравнений и применением метода итерации при нахождении решения и периода p (ju).

Аналогичная задача рассматривается в работе [20], причем предполагается аналитичность нелинейного возмущения по jc и //.

Система (0.2) при условии, что характеристическое уравнение невозмущенной системы х = Ах имеет кратные корни, исследуется в работе A.A. Бойчука [13]. Используется разработанный автором метод решения краевых задач [12]. Отыскивается периодическое решение с периодом, близким периоду решения порождающей (невозмущенной) системы. Отметим, что если в качестве порождающего решения взять нулевое решение системы (0.2), то доказывается, что единственным периодическим решением в работах [13, 19, 20] является нулевое решение.

В работе А. Д. Брюно [17] для исследования автономных систем предлагается метод нормальных форм. С его помощью система преобразуется к интегрируемой системе или к системе, имеющей более простой вид, при этом требуется определить вид нормализующего преобразования.

Несколько работ посвящено исследованию неавтономной системы вида x + Ax + f{t, x, A) = 0. (0.3).

В работе В. Н. Лаптинского [42] методом сжатых отображений определены условия существования периодического решения такой системы в виде тригонометрического полинома с наперед заданным числом гармоник и остаточным членом. В работе [43] тем же автором методом последовательных приближений без использования свойств фундаментальной матрицы системы линейного приближения доказана теорема о существовании и единственности периодического решения.

Методом последовательных приближений в работах E.H. Розенвассера [62, С. 357] и JI. Чезари [78, С. 202] доказано существование периодического решения системы (0.3) в виде суммы тригонометрического полинома и остатка ряда, коэффициенты полинома определяются как решение трансцендентного уравнения.

В работах [26, 53, 63] изучение условий существования и единственности периодических решений основывается на исследовании вопросов существования и знакопостоянства функции Грина.

В работе [70] рассматривается система вида х + A{t)х + C (t, х) + D{t) = 0, в которой предполагается, что A{t), С (/, х), D{t) — периодические по t. Исследуется вопрос о существовании периодического решения на основе проекционно-функционального метода, изучены вопросы локализации этого решения, получены условия существования и единственности периодического решения в заранее заданном виде.

Вопрос о существовании периодического решения системы, линейная часть которой зависит от параметра, исследовался гораздо меньше. Отметим работы, посвященные дифференциальным уравнениям с выделенной линейной частью.

Изучению дифференцально-алгебраических уравнений посвящено несколько работ Ю. Е. Бояринцева [14−16]. Так, в работах [14, 16] исследуются системы х + A (t)x + C (t) = 0 с непрерывной матрицей A (t). На решения Р накладываются дополнительные условия J (^cr (1s,))?)(>s,)x (^) = а, где, а — заа данный вектор, D (s) — заданная матрица с непрерывными на [а, р элементами,.

В работе П. А. Шаманаева [79] формулируются достаточные условия приводимости нелинейных систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных, к линейной системе с постоянной матрицей. Тот же автор в работе [80] формулирует достаточные условия приводимости системы х — A (t)x + Dx + f (t, x, x) к системе у = B (t)y, где.

B (t) = {E — О)'1 A (t).

M.A. Красносельский в своих работах [35] применяет метод неподвижной точки оператора по траекториям исходной системы дифференциальных уравнений для определения условий существования периодического решения.

В работе Кубышкина Е. П. [38] изучается вопрос о существовании периодических решений системы х = А (Я)Х + С (х, Я) в окрестности нулевого решения в предположении, что матрица Л (о) имеет чисто мнимые собственные значения.

Король И.И. в работе [34] предложил алгоритм исследования существования и построения периодического решения системы x = P{t)x + g (t, x), P (t) = где x е R2, t е R, t e R2, p{t) — непрерывная ¿-y-периодическая функция, g{t, x): (t, x) e R x {x: r < |x| < /?} - непрерывная сопериодическая функция по t.

Кенжебаев К.К. [31, 32] рассматривает вопрос о существовании а> -периодического решения системы дифференциальных уравнений вида x = A (t)x + Af (t, x) + g (t) с? у-периодической по t правой частью. Также изучается вопрос о существовании? у-периодического решения системы дифференциальных уравнений x = {p{t) + Q{t))x + f{t, x), где xeRn, P{t), Q{t) — ?у-периодичные матричные функции, предполагается, что фундаментальная матрица системы ф = P{t)(p также со — пе.

0 pit) -pit) 0 • риодична. Получены условия существования, единственности и найден итерационный алгоритм построения со — периодического решения исходной системы.

Diblik Josef, Svoboda Zdenek [82] сформулировали критерий существования положительных решений дифференциально-функциональных уравнений у = f[t, y) в виде системы интегральных неравенств. Функция yt представляет собой функцию специального типа.

Куфаевым Б.Ф. [41] указаны условия существования обобщенного решения дифференциальных уравнений вида у = у/{х, у' разрешенных относительно неизвестной функции.

Li Y., Chen Н., Hou X. [83] изучали дифференциальное уравнение типа Дуффинга с неавтономной периодической частью и малым периодическим неавтономным возбуждением. Установили факт ветвления периодических решений такого уравнения.

Дуллиевым A.M. [25] исследуется решение автономного дифференциального уравнения, правая часть которого содержит малый параметр X. Показано, что если известно решение некоторого более простого уравнения и выполнены некоторые условия, то приближенное решение исходного уравнения может быть найдено с помощью видоизмененного метода последовательных приближений с погрешностью порядка о (Л) на интервале времени ДГ-1/Я.

В работе Sinha S.C. 86] приводятся методы упрощения (с точки зрения вычислений) нелинейных систем вида x = + f (x, t). Такая параметрически возбужденная система сводится к системе более низкого порядка.

Терехин М.Т. [67−69] и его ученики [1, 7, 28, 29, 39, 40, 45, 54, 55, 74, 75] занимаются проблемой существования периодических решений систем дифференциальных уравнений и проблемой бифуркации этих систем. В работе [69] рассматривается система вида.

8х + Ах + /(/, х, Л) = О, в которой, А — постоянные матрицы, матрица? в общем случае может быть особенной, /(г, х, Я) — 2кпериодическая по? вектор-функция, Лпараметр. Получены условия существования ненулевого периодического решения.

Баева О.В. 7] изучала проблему существования периодических решений системы дифференциальных уравнений в случае, когда матрица, А зависит от параметра Л и имеет чисто мнимые собственные значения.

Методика исследования. Отыскание решений нелинейных систем дифференциальных уравнений проводится в окрестности состояния равновесия, положение которого в пространстве зависит от параметра. Путем замены переменной поиск «-периодического решения системы (0.1) сводится к поиску 2и-периодического решения некоторой измененной системы. Решение полученной системы ищется в виде тригонометрического ряда. Методом разбиения основного пространства на три подпространства, используя метод сжатых отображений, устанавливается соответствие между 2ти-периодическим решением системы и решением операторных уравнений.

Проблема существования периодического решения операторных уравнений сводится к проблеме разрешимости нелинейного операторного уравнения. Исследование нелинейного операторного уравнения проводится с помощью оценки норм членов вектор-форм и метода неподвижной точки. Доказательство теорем о существовании периодического решения системы дифференциальных уравнений (0.1) проводится методом сжатых отображений.

Содержание работы. Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цели работы, краткое изложение результатов, полученных другими авторами, приводится методика исследования, краткое содержание работы и апробация результатов.

Диссертация состоит из трех глав. Первая глава содержит основные определения и вспомогательные результаты, необходимые для исследования системы (0.1), находятся условия существования периодических решений этой системы. С помощью замены переменных, вопрос о существовании сопериодических решений системы (0.1) сводится к вопросу о существовании 2я:-периодических решений системы вида.

Я (х, Л,/л) = х- ¿-у0 Ах — ?у0К (Я)х — со0С (х, Л) — соаО (х, Л) — ^ ^.

— //Ах — /Ж.(Л)х — //С (х, Л) — /Ю (х, Л) = 0, где = 2л: а>0 + 27Г/2. Число соо считаем известным, ?1 — некоторый параметр.

Решение системы (0.4) ищется в пространстве Мп тригонометрических рядов вида.

00 х = а0+^аксо5И + Ькз’тИ, (0−5) к=1 где а0, а^ Ь* - и-мерные векторы. Путем разбиения пространства Мп на три подпространства получены условия существования периодических решений системы (0.1).

В § 1.1 дается определение 2л-периодического решения системы (0.4) и соответствующего ©—периодического решения системы (0.1). На множестве Мп введены различные операции и рассмотрены свойства оператора В, определяемого равенством Вх = х — щАх ¦ Для оператора В на множестве.

Мп введены понятия собственного элемента и собственного значения. В теореме 1.1 доказано, что оператор В обратим на множестве Мп при условии отсутствия у него нулевого собственного значения. В теореме 1.2 доказано необходимое и достаточное условие существования собственного элемента, соответствующего нулевому собственному значению оператора В. Рассмотрено пространство Мп{1{) рядов вида (0.5), коэффициенты которых удовлетворяют условию {а.а, Ъ, bt ,.)е/, доказаны некоторые свойства.

0 11 к к 1 этого пространства. Оценены нормы вектор-форм порядка более высокого, чем 1.

В § 1.2, используя свойства оператора В = х — coqAx, строится разбиение пространства Мп на три подпространства, одно из которых содержит бесконечную часть ряда (0.4), а другие — конечную.

В § 1.3 для определения условий существования периодических решений системы (0.1) строится система операторных уравнений. Определены необходимые и достаточные условия существования периодических решений системы (0.1).

В данной работе, по сравнению с работами [8, 9, 10, 11, 57, 58], матрица А (Л) в системе (0.1) зависит от параметра Я, это позволяет получить новые достаточные условия существования периодических решений системы (0.1).

В отличие от работы [35] рассматривается уравнение с параметром Яе.Ер. В диссертации рассматриваются нелинейные системы, в то время как в работах [19, 26] рассматриваются линейные системы. В отличие от работ [10, 83] период решения не является фиксированным. В работе [69] исследуется неавтономная система, при этом период решения является фиксированным, в то время как в диссертации исследуется автономная система с переменным периодом.

В работе С. А. Вавилова, C.B. Юхневича [19], изучается вопрос о существовании периодического решения при достаточно малых значениях параметра /л, а в предложенном исследовании период лежит в окрестности некоторого известного числа. В работе [18] период искомого решения р (/л) удовлетворяет условию lim p{ju) — р = 0, в диссертации выполнение этих О условий не требуется.

Вторая глава посвящена определению достаточных условий отсутствия и необходимых условий существования решения построенной системы операторных уравнений я (х (а,/3Л, м)) = 0, 7](я (х (а,?), Л,//)) = 0. (0.6).

С учетом результатов, полученных в ходе исследования, в § 2.1 задача разрешимости системы (0.6) сводится к поиску решения нелинейного уравнения.

M? + К (Л)у + C{j{a, ?))(u0 + О {¡-и) + о (е1) = 0, (0.7) где М — (га + /)х /-матрица, К{Х) — матрица, зависящая от параметра Л, C (j (a,?)) — конечная сумма вектор-форм относительно переменных a,?, со > 0 — некоторое фиксированное число, lim0(//) = 0, lim^ = 0,.

О >0 gs у = colon (a,?).

В работах же [26, 53, 63] изучение условий существования и единственности периодических решений основывается на исследовании вопросов существования и знакопостоянства функции Грина.

§ 2.2 содержит исследование по проблеме существования и отсутствия решения уравнения (0.7) в предположении, что К (Л) линейно зависит от параметра Л. Установлены достаточные условия отсутствия и необходимые условия существования ненулевых решений системы (0.7). Приводится численный пример.

В третьей главе рассмотрена задача разрешимости уравнения (0.7) в случае нелинейной зависимости К{Л) от параметра Л. В § 3.1 предложен алгоритм нахождения необходимых и достаточных условий существования ненулевых решений системы (0.7), основанный на применении теоремы БоляБрауэра о неподвижной точке непрерывного оператора. В § 3.2 исследована математическая модель стабильной работы трехсекторной экономики. Определены условия существования единственного периодического решения в предположении, что = 0, и Якобиан правой части в стационарной точке отличен от нуля.

Необходимые сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [56, 60, 76], по функциональному анализу — из [30, 36, 46, 72], по линейной алгебре — [21, 23, 37], по тригонометрическим рядамиз [71,73].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Определение необходимых и достаточных условий существования и отсутствия периодических решений системы дифференциальных уравнений (0.1).

2. Методы отыскания условий разрешимости операторных уравнений, позволяющие устанавливать существование периодических решений системы дифференциальных уравнений (0.1).

3. Определение условий существования ненулевого периодического решения в случае, когда.

— К (Л) линейно зависит от параметра Л;

— К{Л) нелинейно зависит от параметра Л.

Апробация диссертации. Полученные результаты докладывались на.

1. Заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном университете им. С. А. Есенина.

А также на следующих конференциях:

2. X, XIII Всероссийских научно-технических конференциях студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» в Рязанском государственном радиотехническом университете, 2005, 2008 г.;

3. VII Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в г. Саранск, 2008 г.;

4. XVI конференции серии «Математика. Компьютер. Образование», в г. Пущино, 2009 г.;

5. Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в Тульском государственном университете, 2009 г;

6. Международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений» в МГУ, 2009 г.

Основные результаты исследования опубликованы в работах [88−99].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В данной работе рассматривается система дифференциальных уравнений вида.

—ИуЛ (0.1) ат в которой у<=Еп, Я е Е, X — параметр, у/{у, Я) — конечная сумма векторформ относительно у, X. Предполагается, что в окрестности некоторой фиксированной точки 6t (X) справедливо представление у/(у, X) = A* {e? (Х)лу — в1 (Л)) + С* (в. (Я), Я, у — в. (Я)) + D [в1 (Я), Я, у — <9 (Я)), где С* [в (Я), Я, ув (Я)) — форма порядка 5 > 1 относительно переменных у, Я, 0*(&.(Я), Я, у-&.(Л)) — конечная сумма форм порядка более высокого, чем s, относительно тех же переменных, С*[б.{Л), Я,0)=0, ?>*(#.(Я), Я, о)= 0 .

Целью работы является определение условий существования периодических решений данной системы. При этом период решения со находится в окрестности заданного числа.

Основным методом исследования является метод представления пространства в виде прямой суммы подпространств.

Условия существования периодического решения определены условиями разрешимости операторного уравнения.

МР + К{Я)у + С^(а, р), Я) со0 +0(m) + o (ss) = 0, в котором М, К{Я) — матрицы, C (j (a,/?)) — конечная сумма вектор-форм относительно переменных у = colon (a, p), lim0(//) = 0. у—>о.

В случае линейной зависимости К (Я) от параметра Я установлены условия существования ненулевых решений системы. Предложен алгоритм нахождения необходимых и достаточных условий существования ненулевых решений системы при нелинейной зависимости К (Х) от параметра Я.

Рассмотрена математическая модель стабильной работы трехсекторной экономики. Изложены условия существования единственного периодического решения в предположении, что Якобиан вектор-функции ц/(у, Л) в стационарной точке отличен от нуля.