Основные свойства преобразования Фурье

Между сигналом x (t) и его спектром X (j со) существует однозначное соответствие. Для решения практических задач необходимо знать связь между изменениями сигнала и соответствующими изменениями спектральной характеристики. Рассмотрим наиболее важные преобразования сигналов и соответствующие им изменения спектральной характеристики.

1. Линейность. Если сигналы х, (?) и x₂(t) преобразуемы по Фурье и их спектральными характеристиками являются соответственно функции ЛГ|(у'со) = 3{Х|(/)} и X₂(joi) = 3{x₂(t)}, то справедливы следующие равенства:

где а, р — постоянные коэффициенты. Это свойство следует непосредственно из определения преобразования Фурье.

2. Спектральная характеристика производной. Если функция x (t), описывающая сигнал, и ее производная y (t) = dx/dt преобразуемы по Фурье и x (t) имеет спектральную характеристику X (jсо), то спектральная характеристика производной

Таким образом, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной характеристики на множитель jсо. Поэтому принято говорить, что мнимое число j со является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.

Формула (3.12) обобщается на случай спектра производной «-го порядка. Легко показать, что если производная.

абсолютно интегрируема в интервале (-оо, оо), то.

3. Спектральная характеристика интеграла. Если функция x (t), описывающая сигнал, преобразуема по Фурье, имеет спектральную характеристику X (j ю) и J x (t)dt = 0, то спектральная характеристика.

интеграла y (t) = J x (x)dx равна.

— оо.

Таким образом, множитель (1/у'со) является оператором интегрирования в частотной области. Это свойство распространяется и на интегралы кратности п .

4. Спектральная характеристика смещенного сигнала. Пусть имеется сигнал х,(/) (рис. 3.6, а) произвольной формы, существующий на интервале [/, /₂] и обладающий спектральной характеристикой Х_] (j ш). Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на время т позднее и поэтому описываемый функцией

Эта функция определена на интервале [/, + т, t₂ + т] (рис. 3.6, б).

Рис. 3.6. Исходный (а) и «запаздывающий» (б) сигналы Если сигнал x_t(l) преобразуем по Фурье и имеет спектральную характеристику Х,(усо), то спектральная характеристика «запаздывающего» сигнала х,(/) равна.

В случае «опережающего» сигнала x₂(t) = х,((+ т) будем иметь.

5. Смещение спектральной характеристики. Если функция х (t) преобразуема по Фурье и имеет спектральную характеристику X (jсо), то.

где а — любое вещественное неотрицательное число.

6. Сжатие и растяжение сигналов. Пусть задан сигнал х/О и ее спектральная характеристика X_t(jсо). Подвергнем эту функцию изменению масштаба времени, образовав новую функцию.

где к — некоторое вещественное число. На рис. 3.7 приведены, например, графики сигнала, описываемого функцией.

для значений к = 0,5; 1; 2.

Рис. 3.7. Графики сигнала (3.13): а — к =, бк = 2; «- к = 0,5.

Легко заметить, что при к > 1 происходит «сжатие» сигнала (рис. 3.7, б), а при 0 < к < 1 — «растяжение» сигнала (рис. 3.7, в).

Можно показать, что спектральная характеристика сигнала х, (?) определяется выражением

Из этого выражения следует, что при сжатии сигнала на временной оси в к раз во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной характеристики при этом уменьшается в к раз. При растяжении сигнала во времени, то есть при 0 < к < 1, имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной характеристики.

7. Спектральная характеристика произведении сигналов. Пусть имеются два сигнала, которые описываются функциями х,(?) и х, Сообразуем сигнал.

Если сигналы х,(/) и x₂(t) преобразуемы по Фурье и их спектральные характеристики есть соответственно X_t (j со) и Х₂(]ш), то спектральная характеристика сигнала y{t) определяется выражением.

8. Теорема Парсеваля. Если функции x_t(t) и x₂(t) преобразуемы по Фурье и их спектральные характеристики соответственно равны Х_{(Jсо) и X₂(jсо), причем интегралы.

сходятся абсолютно, то справедливо равенство.

Формула (3.14) позволяет найти интеграл в бесконечных пределах от произведения двух функций, произведя соответствующие операции со спектральными характеристиками функций. После несложных преобразований формулу (3.14) можно записать в вещественной форме.

Если х,(0 = х,(0 = х (/), то Х_{(jа>) — X₂(j (а) — X (jсо) и из (3.14) получим равенство, которое называют формулой Парсеваля:

9. Обратимость преобразовании Фурье. Нетрудно заметить, чт формулы прямого преобразования.

и обратного преобразования Фурье.

похожи друг на друга. По этой причине все «пары» преобразовани имеют близкие зеркальные образы. Покажем это на примере.

Как показано выше, прямоугольный импульс, описываемый фуш цией.

имеет спектральную характеристику.

С другой стороны, если подвергнуть прямому преобразованию Ф) рьс сигнал.

получим