Методы в математике

Методы исследования в математике можно разделить на два класса: логические и сугубо математические. К логическим методам относятся метод от противного, контрапозиция, перебор случаев (полная индукция), исключение случаев, правило силлогизма, метод минимального контрпримера, метод математической индукции (с натяжкой) и т. д. Рассмотрим некоторые важнейшие общематематические методы. Заметим, что зачастую между методами и идеями существует неразрывная связь. Например, идея координатизации в аналитической геометрии и метод координат или идея функционального представления и функциональный метод.

Начнем с функционального метода. Он состоит в представлении данного математического объекта в виде «функционального» объекта, его элементами служат функции, над которыми естественным образом выполняются некоторые операции. Особенно плодотворно функциональный метод применяется в современной алгебре и абстрактном функциональном анализе. Вспомним представление Кэли групп группами подстановок, представление Стоуна булевых алгебр и булевых колец (данное американским математиком Маршаллом Стоуном) и преобразование Гельфанда для коммутативных банаховых алгебр. В первом из этих функциональных представлений групповая операция интерпретируется как композиция подстановок, а в двух других представлениях элементы алгебры «изображаются» непрерывными отображениями на пространстве максимальных идеалов этой алгебры со значениями, соответственно, в дискретной двухэлементной цепи или в поле комплексных чисел, над которыми алгебраические операции выполняются поточечно.

В случае абстрактных колец (или полуколец) возможны различные их функциональные представления как колец сечений соответствующих пучков, т. е. пучковые представления. В кольце сечений, сопоставляемом исследуемому кольцу, операции выполняются поточечно. В каждой точке базисного пространства сечения принимают значения в соответствующем слое — кольце. Слои, вообще говоря, не изоморфны между собой, но для успешных применений они должны быть устроены проще исходного кольца.

В качестве примера возьмем кольцо Я = Z₃₀ = {0,1, 2,…, 29} классов вычетов по модулю 30. Оно имеет три максимальных идеала Л = {0, 2, 4,…, 28}, В = {0, 3, 6,…, 27} и С = {0, 5, 10,…, 25}. Соответствующие факторкольца суть R/A = {0, 1}, R/B = {0, 1, 2} и R/C = {0, 1, 2, 3, 4} — поля классов вычетов по модулю 2, 3 и 5. Каждый элемент из R представляется как отображение трехэлементного дискретного топологического пространства {А, В, С} в накрывающее пространство пучка, являющееся дизъюнктным объединением указанных полей, то есть тройкой элементов этих полей. Так, элементу 23 е К соответствует тройка (1, 2, 3) прямого произведения полей Z₂, Z₃ и Z₅. Получаем канонический гомоморфизм а кольца R в кольцо Z₂ х Z₃ х Z₅ с нулевым ядром АпВ п С. Значит, а различным элементам сопоставляет различные тройки. А поскольку кольца Z₃₀ и Z₂ х Z₃ х Z₅ содержат равное число элементов — по 30, то ос осуществляет кольцевой изоморфизм: Z₃₀ = Z₂ х Z₃ х Z₅. Этот результат справедлив для любого конечного множества попарно взаимно простых натуральных чисел т, п,…, р: Zтп-…-р — х Z_n х Z. Заметим, что сформулированный факт может быть интерпретирован как китайская теорема об остатках.

Функциональный подход позволяет более наглядно представлять элементы абстрактного объекта и операции над ними. Применительно, скажем, к кольцам он обосновывает необходимость изучения колец сечений пучков колец, а также их прообраза — колец непрерывных функций на топологических пространствах со значениями в том или ином топологическом кольце.

Метод координат. Осуществляет идею координатизации путем введения координат на плоскости или в пространстве. При этом не только точки получают свои числовые координаты, но и кривые и поверхности приобретают алгебраическую форму — они описываются уравнениями. Приводя алгебраические уравнения к каноническому виду, математики классифицируют различные кривые и поверхности, получают новую информацию о них. В широком смысле метод координат заключается в построении функтора А из данной категории геометрических или топологических объектов X в некоторую категорию алгебраических объектов А (Х). Выше был указан функтор С (Х). В алгебраической топологии основополагающее значение имеют группы гомотопий и гомологий топологических многообразий.

Теоретико-модельный метод. Успешно применяется в абстрактной алгебре, в теории числовых систем, к упорядоченным структурам, в основаниях геометрии, в нестандартном анализе. Применительно к современной алгебре теория моделей называется также метаматематикой алгебры. Огромный вклад в создание и развитие теории моделей внесли А. Тарский, А. И. Мальцев, А. Робинсон, П. С. Новиков, Ю. Л. Ершов. Заметим, что основатель нестандартного анализа Абрахам Робинсон формализовал и обосновал лейбницевское понятие бесконечно малой величины, доказав существование неархимедовых расширений поля действительных чисел.

При метаматематическом подходе происходит формальная аксиоматизация данного класса К алгебраических систем. Если удается аксиоматизировать этот класс посредством конечного числа аксиом, выраженных на языке первого порядка исчисления предикатов (когда кванторы применяются только к предметным переменным, но не к предикатам), то к изучению алгебраических систем из К можно применить готовый арсенал теории моделей. В 1936 году А. И. Мальцев доказал принцип локализации (равносильный теореме Геделя о полноте и принципу компактности элементарных классов структур): если каждое конечное подмножество множества высказываний (замкнутых предложений) обладает моделью, то обладает моделью и само множество высказываний. Этот принцип применялся к кольцам, полям, группам. Например, он дает следующую алгебраическую теорему: если каждое конечно порожденное подкольцо кольца вкладывается в тело, то и само кольцо вкладывается в тело.

Теперь укажем несколько более частных методов. Алгоритмические методы основаны на применении того или иного алгоритма. Вычислительные, или численные, методы связаны с приближенными вычислениями: методы хорд и касательных, метод Штурма (его открыл швейцарский математик Жан Штурм), метод половинного деления, итерация (последовательное повторное вычисление функции), методы аппроксимации и интерполяции и т. п. При решении геометрических задач весьма полезен метод геометрических преобразований (движения, аффинные и проективные преобразования). В геометрии и в топологии эффективно применяется метод триангуляции — разбиение поверхности на (криволинейные) треугольники или разбиение полиэдра на замкнутые симплексы.

Рассмотрим подробнее следующие два метода.

Диагональный канторовский метод. Применялся Кантором для доказательства несчетности числовых и функциональных множеств. Покажем его работу на примере доказательства несчетности числового промежутка [0, 1). Предположим, что это множество счетно, т. е. его элементы можно занумеровать натуральными числами: г_ь г₂,…, г_п,…. Целая часть этих чисел равна 0. Пусть а^ —j-й десятичный знак (после запятой) числа r_f. Расположим десятичные записи чисел г_:, г₂,…, г_п,… друг под другом в виде бесконечной матрицы и возьмем ее диагональ а_п а₂₂,…, а_пп,… Рассмотрим число г = 0, а_г а₂… а_п…, в котором для любого натурального п цифра а_п отлична от а_пп и а_г ^ 9. Тогда 0 < г < 1 и г отлично от всех занумерованных чисел. Полученное противоречие и доказывает несчетность континуума. Заметим, что этим методом доказывается и существование алгоритмически невычислимой функции.

Метод нумерации в математической логике. Все слова логико-математического языка нумеруются натуральными числами. Тем самым любое рассуждение о формальной математической теории (метарассуждение) становится утверждением о натуральных числах — номерах формул, содержащихся в рассуждении. Впервые метод арифметизации применил Курт Гедель в 1931 году для доказательства неполноты формальной арифметики.