Расположение полюсов. 
Электроника. 
Математические основы обработки сигналов

Фильтр Баттерворта относится к полиномиальным фильтрам, которые характеризуются тем, что их передаточные функции не содержат нулей. Поэтому передаточная функция фильтра Баттерворта имеет вид.

где со" - число, а ^(5) — характеристический полином л-го порядка.

комплексно-сопряженные пары. Фильтр Баттерворта четного порядка имеет только комплексно-сопряженные полюсы.

Полюсы фильтра Баттерворта определяются выражением.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Пример. Рассчитаем полюсы фильтра Баттерворта третьего порядка. По формуле (6.2) получим:

Стандартные полиномы фильтров Баттерворта различных порядков определяются следующими выражениями:

Отсюда легко сделать вывод, что фильтр Баттерворта нечетного порядка имеет один вещественный полюс, а остальные (л-1) образуют Расположение полюсов фильтров Баттерворта различных порядков показано на рис. 6.7.

Рис. 6.7. Расположение полюсов фильтра Баттерворта: а — л = 1; 6- п = 2 в — и = 3; г — л = 4.

В практике проектирования фильтров широко используется понятие нормированного фильтра, который имеет частоту среза со_с = 1. Нормированный фильтр Баттерворта описывается передаточной функцией.

где (s) = Д (.у)_{м =1} • Полюсы нормированного фильтра Баттаерворта располагаются на полуокружности с радиусом, равным единице.

Определение порядка фильтра Баттерворта

При проектировании фильтра Баттерворта, как уже отмечалось выше, задаются требования к амплитудно-частотной характеристике Н{со) (рис. 6.8, а). Часто для формулирования требований к свойствам фильтра используется не коэффициент усиления, а обратная величина, называемая коэффициентом затухания. На рис. 6.8, б показана логарифмическая характеристика затухания фильтра, где по оси ординат отложена величина.

Рис. 6.8. Требования к АЧХ (я) и к затуханию (б) ФНЧ.

Для определения порядка фильтра Баттерворта, характеристика затухания которого удовлетворяет требованиям, используется формула: