Метод билинейного преобразования

Передаточная функция цифрового фильтра может быть получена путем преобразования передаточной функции аналогового фильтра. Для этих целей, как правило, используется метод билинейного преобразования, имеющий некоторые преимущества перед другими методами. Основу метода составляет конформное отображение s -плоскости в zплоскость при помощи соотношения.

Каждой точке комплексной плоскости s = 6 + j со выражение (10.6) ставит в соответствие определенную точку на плоскости z = ехр[(б + у со) Г]. Чтобы показать характер связи, подставим в (10.6) z=exp (y'co7') и проделаем некоторые преобразования:

Несложный анализ показывает, что выражение (10.7) отображает: открытую левую s -полуплоскость в область, расположенную внутри единичного круга (| z |< 1);

мнимую ось. vплоскости в единичную окружность (| z |= 1); открытую правую полуплоскость s в область, расположенную вне единичного круга (| z |> 1).

На рис. 10.11 показаны точки на плоскости s и соответствующие им точки на плоскости z.

Рис. 10.11. Отображение точек плоскости s на плоскость z.

Согласно (10.4), связь между «аналоговой» частотой Q и «цифровой» частотой со определяется выражением.

Формулу (10.8) можно записать в следующем виде.

График соотношения (10.8) показан на рис. 10.12.

Рис. 10.12. Зависимость между «аналоговой» Q и «цифровой» со частотами.

Подстановкой (10.6) в передаточную функцию H_a(s) аналогового фильтра получают передаточную функцию H (z) цифрового фильтра.

При этом частотная характеристика /7_а(/'Г2) аналогового фильтра преобразуется в частотную характеристику Н{е^^т) цифрового фильтра с изменениями масштабов по оси частот, которые определяются формулой (10.8). Связь между частотой Q аналогового фильтра и частотой со цифрового фильтра описывается хотя и нелинейной, но монотонной функцией. Поэтому относительное положение частоты при преобразовании (10.8) сохраняется, то есть если со₂ >С0|, то Q, >Q₍.

Поэтому, если в полосе частот от Q, до Q₂ АЧХ фильтрапрототипа удовлетворяет условиям.

го в полосе частот от со, до со₂ АЧХ цифрового фильтра удовлетворяет аналогичному требованию.

Однако при переходе от частоты О к частоте со длительности полос пропускания и задерживания частотных интервалов деформируются. Но все максимумы и минимумы АЧХ аналогового фильтра сохраняются и в АЧХ цифрового фильтра. При этом сохраняются основные свойства фильтров (тип, неравномерность АЧХ для соответствующих диапазонов частот и др.). На рис. 10.13 показано преобразование АЧХ аналогового ФНЧ Чебышева третьего порядка, используемого в качестве фильтра-проготипа, в АЧХ цифрового ФНЧ.

Рис. 10.13. Связь между АЧХ аналогового и цифрового ФНЧ при билинейном преобразовании.

Деформация шкалы частот при билинейном преобразовании проявляется в искажениях импульсной и фазовой частотной характеристик фильтра. Указанные характеристики аналогового и цифрового фильтров не будут совпадать.

Достоинством билинейного преобразования является то, что все полюсы аналогового фильтра, расположенные в левой половине.

s -плоскости, отображаются во внутреннюю область единичного круга. Поэтому цифровой фильтр будет устойчивым, если устойчив аналоговый прототип.

Метод билинейного преобразования успешно применяется для синтеза фильтров нижних и верхних частот, полосовых и режекторных фильтров.