Коррелограммный метод оценивания спектральной плотности мощности

Оценки спектральной плотности мощности, для определения которых сначала по исходным данным формируются оценки корреляционных функций, получили название коррелограммных.

Оценка корреляционной функции находится по заданной реализации х_р(?) случайного процесса. Если определены N отсчетов х_р(«),.

и=0,1, …, N —1, сигнала, то оценку корреляционной функции можно вычислить по формуле.

Оценка 7?" ₊(от) корреляционной функции представляет собой дискретную последовательность, определенную на конечном интервале [0,А/-1]. Показано, что чем больше значение от, тем больше ошибка определения корреляционной функции. Поэтому формулу (12.5) рекомендуют использовать при M Дополнив /?*₊(от) симметричными отсчетами для отрицательных значений т=-М+1,…, —1, получим оценку Л*(от) корреляционной функции.

Применив к оценке /?*(от) дискретное преобразование Фурье (ДПФ), получим оценку спектральной плотности.

С учетом того, что оценка Л*(от) является четной функцией, формулу (12.6) можно записать в следующем виде:

При использовании формулы (12.7) отпадает необходимость дополнения /?*₊(«?) отсчетами для отрицательных т .

Теоретически спектральная плотность мощности (со), определяемая в частотной области, является неслучайной характеристикой. Однако, поскольку ее оценивание всегда производится по ограниченным реализациям случайного процесса, значения спектра могут быть найдены только приближенно. Поэтому сама оценка спектральной плотности мощности имеет случайный характер и никогда не совпадает во всех точках с теоретической спектральной плотностью.

Применение коррелограммного метода оценивания оправдано только для стационарных случайных процессов и при использовании алгоритмов быстрого преобразования Фурье для расчетов по формулам.

(12.6), (12.7).

Коррелограммный метод применялся и до появления современных вычислительных машин и персональных компьютеров. Последние позволили внедрить в практику спектрального анализа более трудоемкие в вычислительном смысле, но и более эффективные методы.

Использование оконных функций

Для оценки (12.6), в которой вместо бесконечной корреляционной последовательности используется конечное число значений, характерно просачивание энергии, вызванное явлением Гиббса (эффект прямоугольного окна). Избавиться от просачивания энергии можно путем предварительного преобразования оценки корреляционной функции при помощи оконной функции w (m), отличающейся от прямоугольной.

Тогда в качестве оценки спектральной плотности будем иметь:

или.

Некоторые оконные функции, которые используются для улучшения оценок спектральной плотности, рассмотрены в главе 11. Обработка с помощью оконной функции позволяет ослабить влияние боковых лепестков, вызванных явлением Гиббса. Но при этом ухудшается спектральное разрешение.

Эффект просачивания энергии также можно уменьшить сглаживанием самой оценки спектральной плотности, полученной по формуле.

(12.6), при помощи дополнительного фильтра.