Динамика частицы. 
Физика. 
Механика. 
Электромагнетизм

ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

Преобразования Галилея

С точки зрения механики состояние частицы полностью задается ее положением и скоростью. Задачей динамики является определение того, как будет изменяться состояние частицы в результате ее взаимодействия с остальным миром. Однако координаты и скорость частицы зависят, как мы видели, от системы отсчета (поведение объектов в каюте корабля во время штиля и шторма будет существенно различным). Состояние частицы может изменяться как в результате ее взаимодействия с другими телами, так и из-за ускоренного движения системы отсчета. Для того чтобы эти эффекты можно было различать, необходимо как-то специализировать систему отсчета.

С точки зрения кинематики все системы равнозначны. С точки зрения динамики это не так. Существует класс привилегированных в определенном смысле систем отсчета. Именно: существуют системы, пространство в которых однородно и изотропно, а время во всех точках течет одинаково. Такие системы отсчета называются инерциальными. Однородность означает, что все точки пространства эквивалентны (принципиально неотличимы одна от другой), изотропность означает, что все направления в пространстве эквивалентны. Физически однородность пространства проявится в том, что если в некотором месте имеется устройство, функционирующее определенным образом, и мы осуществим параллельный перенос этого устройства в другое место, то на новом месте оно будет функционировать точно так же. Изотропность проявляется в том, что изменение ориентации любого устройства не повлияет на его функционирование. Очевидно, что пространство в неподвижной относительно земли системе отсчета (лабораторная система) не изотропно (имеется выделенное направление — вертикаль). Менее очевидно, что оно неоднородно (точки на разной высоте неэквивалентны). И совсем не очевидно, что время в разных точках этой системы течет по-разному (часы на полу идут медленнее, чем на потолке). Таким образом, эта система неинерциальна.

Примером инерциальной системы может служить невращающийся космический корабль в космосе с выключенными двигателями, ориентация которого относительно удаленных звезд поддерживается гироскопами. Из всех людей лишь космонавты знакомы с жизнью в настоящей инерциальной системе отсчета. Однако эта система пространственно ограничена. Глобальных инерциальных систем отсчета не существует. Упомянутую выше лабораторную систему приближенно можно считать инерциальной, а отмеченные отклонения можно объяснить наличием гравитационного поля Земли.

Имеет место важное обстоятельство: система, движущаяся относительно инерциальной с постоянной скоростью, инерциальна. В связи с этим возникает следующая проблема. Пусть задано движение точки относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Как будет выглядеть движение этой же точки относительно другой инерциальной системы?

Представим две инерциальные системы К к К', направления координатных осей этих систем совпадают, система К' движется относительно К со скоростью V. Некоторое событие имеет в системе К координаты (х, у, z, 0- Каковы будут координаты этого события в штрихованной системе? Ответ легко получить, руководствуясь.

здравым смыслом. Будем считать, что при t = 0 начала координат обеих систем совпадали. Тогда к моменту наступления события t система К' переместится на расстояние Vt (рис. 2.1). Если х' — координата события в системе К', то, очевидно, х =х' + Vt. Считая, что время в обеих системах течет оди- Рис. 2.1 наково, получим /' = /. Координаты у, z

не преобразуются. Таким образом,.

Обратное преобразование будет иметь вид.

Формулы ние Галилея.

(2.1), (2.2) определяют так называемое преобразоваЭти преобразования можно представить в матричной форме (знакомые с матрицами могут получить удовольствие от этого представления). Введем вектор (матрицу-столбец) X.

определяющий событие в системе К. Тогда формулы (2.1) можно представить в виде.

где G — 2 х 2-матрица:

Обратное преобразование представится в виде где G~' — матрица, обратная G. Легко убедиться, что.

Пусть X, = j, X, = f*^!l ^— два события. Вектор

определяет пространственный и временной интервалы между событиями в системе К. Формулы (2.6), (2.7) дают.

Таким образом, пространственный интервал, разделяющий два события, зависит от системы отсчета, а временной — не зависит (фактически, эти соображения лежали в основе вывода формул (2.1), (2.2), так что ничего нового мы не получили).

Задача 2.1. В движущемся со скоростью V вагоне висящий на пружине шарик совершает гармонические колебания по вертикали с частотой со и амплитудой А. Как будет выглядеть движение этого шарика в системе, связанной с землей?

Решение. Система К' связана с вагоном, система К— с землей, оси х, х' направлены вдоль пути, z, Z' — по вертикали. Момент времени / и координаты движущейся точки в этот момент х (/), г (/) определяют событие, движение точки есть последовательность таких событий. Имеем: x'(t') =х₀, z'(t') = Л sin со/'. Переменные х, / преобразуются по формулам (2.2), переменная г не преобразуется. Таким образом, в системе К точка движется по закону х (/) = х₀ + Vt, z (t) = A sin со/. Эти формулы определяют траекторию колеблющегося шарика в неподвижной системе. Исключая из этих формул время, получим уравнение.

. <�о (х-х.) «.

траектории в явном виде: z = л sin-у" - «системе, связанной с землей, шарик движется по синусоиде в вертикальной плоскости — результат, который можно было предвидеть. Период этой синусоиды будет (убедитесь в этом!) Дх = 2я V/ш.