Системы управления с использованием нечеткой логики и нейронных сетей

В результате изучения данной главы студент должен:

знать

• • основные понятия и определения математического аппарата нечеткой логики;
• • основные функции принадлежности для приведения к нечеткости, а также основные операции нечеткой логики;
• • принцип функционирования систем с нечеткой логикой;

уметь

• • формулировать на основе эмпирических знаний базу нечетких правил, используемых в системе нечеткого вывода;
• • формировать введение нечеткости (фаззификацию);
• • формировать приведение к четкости (дефаззификацию);

владеть

• • терминологическим аппаратом, необходимым при моделировании на основе нечеткой логики и нейронных сетей;
• • методами математического моделировании процессов в системах с нечеткой логикой в среде М ATLAB с использованием пакета расширения Fuzzy Logic Toolbox;
• • правилами обучения нейронных сетей.

Основы нечеткой логики

Логика в обычном смысле слова есть представление строгих и формальных механизмов мышления. Однако исследования этих механизмов мышления показали, что в действительности существует не одна двоичная (бинарная), или булева, логика, в которой переменные могут принимать только два значения: «истина» (1) и «ложь» (0), а столько, сколько будет задано соответствующих систем аксиом. При этом переменные выбираются из интервала значений [0, 1|. Для заданной системы аксиом все утверждения, построенные на ее основе, должны быть строго, без противоречий увязаны друг с другом согласно правилам, установленным этими аксиомами.

Человеческое мышление — это совмещение строгости и интуиции, т. е. совмещение четкой и нечеткой логики. Современные операционные системы компьютеров могут реализовать только формальную логику. Поэтому математическое обеспечение компьютера для реализации системы искусственного интеллекта, разработанное с учетом нечеткой логики, сможет быть технически реализовано, если оно станет операционным. В этом случае оно станет намного более удобным, быстрым и лучше приспособленным к решению сложных проблем. Первой ступенью интеллектуальных систем являются системы, построенные с использованием нечеткой логики. Поэтому сегодня нечеткая логика — это область знаний, о которой должны иметь представление инженеры и научные работники, занимающиеся решением вопросов автоматизации.

Термин «нечеткая логика» обычно используется в двух различных значениях [6, 7, 12]. В узком смысле нечеткая логика — это логическое исчисление, являющееся расширением многозначной логики. В широком смысле, который сегодня является преобладающим в использовании, нечеткая логика равнозначна теории нечетких множеств. Нечеткая логика служит основой для реализации методов нечеткого управления. Она более естественно охватывает характер человеческого мышления, который часто описывает многие процессы неточно или приблизительно.

Расширение класса операций конъюнкции и дизъюнкции было вызвано необходимостью построения достаточно общих математических моделей, которые могли бы с единых позиций рассматривать, например, вероятностную и многозначную логику, различные методы принятия решений и обработки данных.

Математическая теория нечетких множеств (fuzzy set) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями и дополнениями классической теории множеств и классической формальной логики. Данные понятия были впервые предложены американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г. Fuzzy-регулятор, основанный на нечеткой логике, реализует стратегию управления, базирующуюся на эмпирически приобретенных знаниях относительно функционирования объекта, представленных в виде некоторой совокупности правил.

Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений и оценок при словесном описании процессов, систем, объектов. Например, понятия, или определения, «горячий чай», «теплая погода», «низкая цена», «быстро», «медленно», «громко», «тихо», «высоко» и «низко» являются нечеткими. Кажется несколько странным, но применение нечеткой логики в системах управления позволило существенно улучшить качество управления сложными объектами по сравнению с традиционным управлением.

Математический аппарат нечеткой логики. Нечетким множеством С называется совокупность понятий или элементов произвольной природы, относительно которых нельзя с полной определенностью (0 или 1) утверждать, принадлежит ли понятие или элемент совокупности к данному множеству или нет. Указанные понятия или элементы следует рассматривать как нечеткие.

Степень принадлежности нечеткого понятия к нечеткому множеству С для заданной области рассуждений X характеризуют функцией принадлежности (Membership Function), которую обозначают MF_c(x) или mf_c(x), но чаще как р_с(х). В дальнейшем мы будем пользоваться последним обозначением.

Нечеткое множество представляет собой множество упорядоченных пар вида.

где х — элемент универсального множества (универсума) X; р_с(.г) — функция принадлежности, которая ставит в соответствие каждому элементу х е X некоторое действительное число из интервала [0, 1], что записывается как 11с (х) е [0, 1].

Выражение х_с(х) = 0 означает отсутствие принадлежности к множеству, т. е. элемент х определенно не принадлежит к нечеткому множеству С. Выражение р_с(х) = 1 означает полную принадлежность к нечеткому множеству С. Проиллюстрируем это на простом примере, приведенном Г. Э. Яхъяевой [12]. Формализуем нечеткое определение С = Горячий чай. В качестве X (область рассуждений) взята шкала температуры в градусах Цельсия. Зададим изменение температуры от 0 до 100 °C. Тогда нечеткое множество для понятия «горячий чай» может выглядеть следующим образом:

С = {0/0; 0/10; 0/20; 0,15/30; 0,3/40; 0,6/50; 0,8/60; 0,9/70; 1/80; 1/90; 1/100}.

Из приведенного множества следует, что чай температурой 60 °C принадлежит к множеству «Горячий чай» со степенью принадлежности 0,80 (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Графическое представление функции принадлежности ц_с(лг) для понятия «горячий чай» от температуры Действительно, для одного человека чай при температуре 60 °C может оказаться горячим, для другого — не слишком горячим. Однако если взять достаточно большое количество людей, например (для простоты) 100 человек, и опросить их мнение относительно чая, то окажется, что для 80 человек чай будет ассоциативно горячим. Остальные 20 человек будут считать, что чай не горячий. Таким образом, степень принадлежности к множеству «Горячий чай» определяется вероятностью его признания большим количеством людей. Именно в этом и проявляется нечеткость задания соответствующего множества. При разных оценках рассмотренная функция принадлежности может иметь несколько иной вид, но мы можем быть вполне уверены, что в общем виде функция принадлежности (см. рис. 5.1) монотонно возрастает.

Для определения нечеткого множества можно использовать различные функции принадлежности, но на практике удобнее использовать те из них, которые имеют аналитическое представление в виде простых математических функций: это упрощает численные расчеты и необходимые для них инструментальные средства.

Существует несколько типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Наибольшее распространение получили кусочно-линейные функции принадлежности (треугольная и трапецеидальная) и П-образная гауссова функция принадлежности.

Треугольная функция принадлежности (рис. 5.2, а) состоит из двух отрезков прямых линий и определяется тремя числами — параметрами а, Ь_у с. Значение функции в точке х вычисляется согласно следующему аналитическому выражению:

При (Ь — а) = (с — b) функция принадлежности имеет вид симметричного треугольника. В этом случае функция принадлежности может быть однозначно задана двумя любыми параметрами из трех: а и Ь_у а и с или b и с. С помощью треугольной функции принадлежности задают нечеткие множества и треугольные нечеткие числа (ТНЧ).

Трапецеидальная функция принадлежности (рис. 5.2, б) состоит из трех отрезков прямых линий и задается четырьмя числами — параметрами а, Ь_у Су d. Значение функции в точке х вычисляется согласно выражению.

При (b — а) = (d — с) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид. С помощью трапецеидальной функции принадлежности задают нечеткие множества и трапецеидальные нечеткие интервалы (ТНИ).

П-образная функция принадлежности гауссова типа (рис. 5.3) описывается формулой и задается двумя параметрами: с и а. Параметр с обозначает центр нечеткого множества, а параметр, а отвечает за крутизну функции или ее рассеяние относительно центра. Эта функция хорошо известна в теории вероятностей. Она представляет собой плотность нормального распределения и по своей форме напоминает колокол, сглаженную трапецию или букву П. Отсюда и название этой функции. В теории вероятностей D называется дисперсией, а = [Ъ — средиеквадратическим отклонением или стандартным отклонением, а с — математическим ожиданием. На рис. 5.3 приведены две гауссовы функции принадлежности. Центры обеих функций одинаковые (с = 4), а рассеяния разные: а, = 1 и ст₉ = 2.

Рис. 5.2. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности.

При построении функций принадлежности нечетких множеств необходимо придерживаться следующего правила: чем в большей степени элемент х е X обладает рассматриваемым свойством, тем более близко к единице должно быть значение функции принадлежности или значение истинности этого элемента.

Рис. 53. Гауссова функция принадлежности с разными значениями а.

Существуют прямые и косвенные методы задания нечеткого множества или построения функций принадлежности. В прямых методах на основе некоторого заранее известного количественного значения измеряемого признака значения функции принадлежности задаются экспертом или группой экспертов. Среди косвенных методов наиболее известен так называемый метод попарных сравнений.

Функции принадлежности служат для фаззификации или приведения к нечеткости.

Показать преимущества нечеткой логики по сравнению с четкой логикой можно на следующих двух примерах.

Пример 5.1.

В трех корзинах находятся цветные шары (табл. 5.1).

Содержание корзин с цветными шарами.

Таблица 5.1

В первой корзине находится шесть красных, четыре синих и восемь зеленых шаров. Во второй корзине находится восемь красных, четыре синих и два зеленых шара. В третьей корзине находится четыре красных, пять синих и три зеленых шара. Из второй и третьей корзин наугад вынимают по одному шару и кладут в первую корзину. Какова вероятность вынуть из первой корзины красный шар после добавления в нее, но одному шару из второй и третьей корзины?

Решение 1

Применим классический метод четкой логики и элементы теории вероятностей [19, 29]. Вероятность события, или утверждения, К: «Из первой корзины вынут красный шар после добавления в нес двух шаров», которое является случайным событием, найдем методом полного перебора всех вероятностей. В результате получим формулу полной вероятности.

Здесь Р ()/< — вероятность вынуть красный шар из первой корзины после добавления в нее одного шара из второй корзины и одного шара из третьей корзины; Р (2)К ⁼ 8/14 — вероятность вынуть красный шар из второй корзины; Р_(3)/с = 4/12 — вероятность вынуть красный шар из третьей корзины; Рп)К ⁼ 8/14— вероятность вынуть не красный шар из второй корзины; Р^ц = 8/12 — вероятность вынуть не красный шар из третьей корзины; Р_(1)/с+2 = (8 + 2)/(18 + 2) = 8/20 — вероятность вынуть красный шар из первой корзины, если из двух добавленных шаров оба были красными; Р^к+ = (6 + 1)/(18 + 2) = 7/20 — вероятность вынуть красный шар из первой корзины, если из двух добавленных шаров был только один красный шар; ^раж-о = (6 + 0)/(12 + 2) = 6/20 — вероятность вынуть красный шар из первой корзины, если из двух добавленных шаров не было ни одного красного.

Подставив численные значения вероятностей, получим.

Вероятность вынуть красный шар из первой корзины после добавления в нее двух шаров из второй и третьей корзин составляет 0,345, или 34,5%.

В решаемом примере все вероятности обозначены буквой Р (фр. Probobilite — вероятность).

Замечание 5.2.

Для решения задачи была применена теория вероятностей [19, 22] и четкая логика, согласно которой мы могли либо вынуть из корзины только красный шар (названное выше событие К будет истинным или равным логической единице), либо вынуть шар другого цвета, т. е. не красный (событие К не наступит, т. е. оно будет ложным или равным логическому нулю). Разумеется, мы не могли вынуть половину красного шара или одну треть его. Мы могли вынуть только целый шар, причем он мог быть только красным или не красным. Мы также не могли вынуть шар, который был бы наполовину красный, а наполовину зеленый. Таких шаров в корзине нет.

Теперь представим себе, что мы вынимаем из корзины целый шар, но он имеет нс одну расцветку, а три. Например, первый шар, вынимаемый из второй корзины, имеет 8/14 = 0,571 поверхности красного цвета, 4/14 = 0,286 поверхности синего цвета и 2/14 = 0,143 поверхности зеленого цвета, т. е. на 57,1% это красный шар и на 42,9% (28,6% + 14,3%) это шар не красный. Доли или проценты определяют степень принадлежности шара к интересующему нас цвету. Степень принадлежности есть вероятность наступления интересующего нас события, т. е. это отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Если нас интересует красный цвет, то мы можем сказать, что вынутый из второй корзины шар на 0,571, или на 57,1% принадлежит к определению «красный шар», или этот шар на 57,1% красный. Покажем решение предыдущего примера с использованием понятий нечеткой логики, когда переменная или ее принадлежность к какому-либо множеству может принимать любое значение от 0 до 1.

Решение 2 (с помощью нечеткой логики)

Первый шар, вынутый из второй корзины, имеет степень принадлежности к множеству «Красный шар» 8/14 = 0,571, а шар, вынутый из третьей корзины, — 4/12 = 0,333. Оба шара положены в первую корзину. Вероятность вынуть красный шар из первой корзины после добавления в нее двух «нечетких» красных шаров будет равна.

Полученное решение гораздо проще предыдущего решения. Выигрыш будет еще больше, если из второй и третьей корзины нужно достать два или три шара.

Пример 5.2.

В первой корзине находятся два красных и шесть синих шаров, во второй корзине — четыре красных и два синих шара (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Содержание корзин с цветными шарами.

Из первой корзины наугад перекладывают во вторую корзину два шара, после чего из второй корзины наугад достают один шар. Какова вероятность того, что вынутый из второй корзины шар будет красный?

Решение 1

Применим для решения задачи классический метод четкой логики и элементы теории вероятностей, приведенные в [19, 29].

Введем следующие обозначения:

событие, или утверждение, К: «Из второй корзины вынут красный шар после добавления в нее двух шаров из первой корзины»;

событие, или гипотеза, К2: «Из первой корзины переложены во вторую корзину два красных шара»;

событие, или гипотеза, КС: «Из первой корзины переложены во вторую корзину красный и синий шары»;

событие, или гипотеза, С2: «Из первой корзины переложены во вторую корзину два синих шара».

По формуле полной вероятности.

вычислим вероятности гипотез К2, КС, С2.

Вероятность вынуть из первой корзины два красных шара:

Вероятность вынуть из первой корзины красный и синий шары:

Вероятность вынуть из первой корзины два синих шара: п!

Здесь С™ =-¹—число всех возможных сочетаний, которые можно обратили-/я)!

зовать из п элементов, но т. Каждое сочетание отличается друг от друга хотя бы одним элементом.

Вычислим условные вероятности.

Вероятность вынуть из второй корзины красный шар, если в нее добавлены два красных шара:

Вероятность вынуть из второй корзины красный шар, если в нее добавлены красный и синий шары:

Вероятность вынуть из второй корзины красный шар, если в нее добавлены два синих шара:

По формуле полной вероятности вероятность вынуть из второй корзины красный шар после добавления двух шаров из первой корзины составит

Решение 2 (с помощью нечеткой логики)

Представим себе, что оба раза из первой корзины перекладывают во вторую красные шары, но с разной степенью принадлежности к понятию «красный шар». Первый шар, вынутый из первой корзины и переложенный во вторую, имеет степень принадлежности к множеству «красный шар» 2/8 = ¼ = 0,25. После этого в первой корзине остается семь шаров, причем красных шаров из них остается 2 — = —. Второй.

4 4.

«нечеткий», или условный, шар, вынутый из первой корзины, имеет степень принадлежности к понятию «красный шар» —: 7 = Оба шара положены во вторую корзину.

• 4 4
• 1 1 18

Итак, во второй корзине оказалось красных шаров 4+—+— = — = 4,5. Вероятность.

4 4 4.

вынуть красный шар из второй корзины после добавления в нес двух «нечетких».

* ¹⁸ Q ⁹

красных шаров будет равна —: 8 = —.

4 16.

Получили тот же ответ, но гораздо проще.

Замечание 5.3.

После рассмотрения примеров 5.1 и 5.2 может возникнуть вопрос: «Является ли нечеткость разновидностью вероятности или она имеет самостоятельное содержание?» В проходивших по этому поводу дискуссиях были разные ответы на этот вопрос. Однако сегодня следует признать, что концепция нечеткой меры, включающая как частный случай вероятностную меру, качественно отличается от нее, так как включает в себя многие другие типы и аспекты неопределенности. Как будет показано ниже, стохастическая и лингвистическая неопределенности имеют различный характер. Стохастическая неопределенность имеет дело с неопределенностью того, произойдет ли некоторое хорошо описанное событие или не произойдет. Лингвистическая же неопределенность связана с неполнотой знаний, неточностью и противоречивостью описания самого процесса, ситуации или события. Теория вероятностей не может использоваться для решения этих проблем.

Вывод из сказанного следующий. Поскольку реальный мир сложен и неоднозначен, то для моделирования различных неопределенностей, отличающихся по своей природе, целесообразно использовать как теорию вероятностей, так и теорию нечетких множеств.