Контрольные вопросы. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

• 1. Однозначно ли деление с остатком в кольцах Z, Z + Zi, Q[x]?
• 2. Сколько существует наибольших общих делителей двух данных чисел в кольцах Z и Z + Zi?
• 3. Если в кольце целых чисел НОД (а, Ь) = d, то чему может быть равен НОД (а, Ь) в кольце целых комплексных чисел?
• 4. Пусть поле Р является подполем поля F и Дх), g (x) е Р[х]. Если НОД (Дх), g (x)) = d (x), то чему равен НОД (Дх), g (x)) в кольце F[x]?

Задачи

• 1. В кольце Z разделите с остатком ±28 на ±23 и ±23 на ±28.
• 2. В кольце Z + Zi разделите с остатком а на Ь, где: а) а = 10 + 15/, b = 3 — i; б) а = 13 + 2i, b = 2 + 3/.
• 3. В кольце Z + Zi разделите с остатком, а на b всеми возможными способами: а) а = -6 + 10i, b = 1 + 3i; б) а = -4 + 2i, b = 2 + 2i; в) а = -1 — 4i,

Ь = 1 — i.

• 4. Найдите НОД (а, Ь), где: а) а = 9 + 3/, Ъ = 4 — 2i; б) а = 6 — 3i, Ь — 6 + 2 i.
• 5. Найдите линейную форму НОД (а, Ь), где, а = 35 — 5i, Ь = 8 — 6i.
• 6. В кольце Z М опишите все делители многочлена х⁴ -1. Опишите все делители этого многочлена в кольце IR[x].
• 7. Даны два многочленаДх), g (x) е Q[x]. Как изменится НОД (/(х),

g (x)), если каждый многочлен умножить: 1) на 5; 2) на —; 3) на х — 3?

Тот же вопрос, если умножить один из многочленов на соответствующий множитель.

• 8. Найдите НОД (/(х), /?(х)), если:
  • а) Дх) = х⁶ + 8х⁵ + 22Х⁴ + 43х³ + 70х² + 57х + 39, h(х) = х⁴ + 7х³ + 14х² + + 21х + 33;
  • б) Дх) = 2х⁷ + х⁶ — х⁵ + 9Х⁴ — Зх³ — 8х — 7, h (x) = 2Х⁶ — х⁵ + Их³ —
  • — 10х² + х — 9;
  • в) Дх) = 6х⁵ + х⁴ + 12х³ — 42х² + ЗОх + 25, h (x) = 2т⁴ — х³ + 4х² —
  • — 17х + 20.
• 9. Найдите линейную форму НОД (Дх), g (x)), если:
  • а) Дх) =х⁶ — х⁵ — 10х² + 9х — 3, h (x) = х⁴ + х³ + 2х² + Зх — 3;
  • б) Дх) = Зх⁷ + 2Х⁶ — 142х⁵ — 79Х⁴ — 104х³ + 50х² -48х- 42, /г (х) =х4 + + х³ — 47х² — 42х — 49;
  • в) Дх) = х⁷ — х⁵ + 4х³ — х — 1, h (x) = х⁶ + х⁵ — х⁴ — х³ + х² + 2х + 1.
• 10. Упростите выражения:
• 2лг⁵ + 11х⁴ + 5х³-2х²-llx-5 6х⁴+х³-8х² + 4х-3

х³ + 4л:² + 4х + 3 ' 9х⁷ + 21х⁶+5х⁵-х⁴+2х³'.

л:⁸ + 4л:⁷ + 8х⁵ + 32х⁴ 2х⁵+х⁴-19х³ + 29х²-26х + 8.

^В х⁵ — 5х⁴ — Зх³ + 27х² — 72х + 60 ' ^ х³ + х²-х + 2.

• 11. Покажите, что в кольце Z + Zisjb числа 2,3,1±г/5 являются простыми, а числа 6 и 41 — составными. Представьте 41 в виде произведения простых в Z+Zijb чисел двумя способами и тем самым докажите, что это кольцо не факториально.
• 12. В кольце K = Z + Zi[b ={a + bijs |а, beZ} найдите два числа, для которых среди общих делителей нет НОД.
• 13. Как определить норму в кольце К = Z + Zj2 ={a + bsj2a, beZ}, чтобы оно стало евклидовым кольцом?
• 1 + 1'Уз 1 + Ф l + iVU
• 2 ' 2 ' 2
• 14. Пусть со обозначает одно из чисел: iV2,

Докажите, что множество Z + Zco = {а + Ьсо | а, b е Z} является евклидовым кольцом относительно нормы ft (а + Ьсо) = |а + Ьсо|² (отсюда следует факториальность всех этих колец).