Динамика частиц на гиперсфере

Заметим, что движение частиц в метрике (5) разделяется на радиальное движение и движение на сфере, которое в общем случае можно исследовать независимо от радиального движения. Будем предполагать, что существуют такие частицы, которые движутся в метрике (5) на гиперсфере с числом углов. Как известно, движение массивных частиц в гравитационном поле в общем случае описывается уравнением (4). Пронумеруем координаты метрики (5) следующим образом.

.

Система уравнений (4) в метрике (5) имеет вид [14].

Отметим, что в силу уравнений (14) все углы связаны между собой. Поэтому движение вдоль каждого угла может влиять на динамику всей системы. Это влияние является особенно сильным в окрестности полюсов системы, где, при этом. Согласно системе уравнений (14) число таких полюсов равно.

Поскольку система уравнений (14) зависит от начальных данных, полагая в начальный момент времени, во все последующие моменты времени имеем. Но тогда, согласно (14), угол выпадает из системы, а порядок системы понижается.

Используя это свойство системы уравнений (14) можно исследовать динамику некоторой подсистемы меньшего размера. В работе [14] исследованы подсистемы с числом угловых координат, которые описывают взаимное влияние 2, 3, 13 и 24 миров соответственно.

На рисунке 1 представлены результаты моделирования динамики частиц на гиперсфере в случае 20 углов, что соответствует взаимодействию семи миров в теории [14−16]. Отметим, что проекции траектории частиц на плоскости образуют своеобразные фигуры похожие на прямоугольники. В трехмерном пространстве эти фигуры образуют коридоры, аналогичные тем, которые были получены нами в теории Янга-Миллса — рис. 2. В этом случае траектории частиц на некоторых участках состоят как бы из прямых линий, которые при большом увеличении выглядят как бруски прямоугольного сечения, на которые навиты линии, образующиеся при колебаниях в трех плоскостях — смотрите правый верхний рис. 2.

В общем случае, согласно (4), движение в пространстве зависит от функций — символов Кристоффеля второго рода. Чтобы отобразить движение в многомерных пространствах в рамках четырехмерного пространства-времени необходимо осуществить компактификацию. В многомерной теории гравитации компактификация достигается путем задания условия периодичности (цилиндричности) по одной или нескольким координатам [7−11, 15, 25−26].

Рис. 2. Динамика полей Янга-Миллса и траектории частиц в модели [24].

Предложенный нами способ отображения движения на гиперсфере путем комбинации углов [14] отличается наглядностью, что позволяет сопоставить многомерное движение с известными в физике движениями в четырехмерном пространстве-времени — рис. 1−2. Ниже будет показано, что движения, аналогичные представленным на рис. 1, существую в 6D, а также в метрике галактик [27].

Такое отображение многомерного движения возможно в том случае, если дополнительные измерения пространства не свернуты, как это предполагается в стандартной теории [12−13], а, напротив, доступны наблюдению.

Проблема же заключается в том, что наблюдатель не располагает необходимыми приборами для наблюдения многомерного движения. В проекции на плоскость или в 3D движение выглядит так, что наблюдатель вынужден предполагать наличие центров гравитации, электрических зарядов, сильных и слабых взаимодействий. Тогда как в действительности система уравнений (14), описывающая движение на гиперсфере, уже содержит особенности, которые можно связать с наличием зарядов или центров гравитации. Для доказательства перепишем уравнение (14) в виде.

Отсюда следует, что в особых точках решение системы (14a) зависит от логарифмических потенциалов, которые, как будет показано ниже, могут быть связаны с наличием центров гравитации или зарядов.