Центр тяжести площадей

Во многих задачах приходится определять центры тяжести различных сочетаний тел, представляющих собой геометрические плоские фигуры иногда сложной формы. Рассмотрим плоскую однородную пластинку (рис. 19). Вес каждой её части будет пропорционален площади, то есть.

где у' - сила тяжести одного квадратного метра;

Fi — площадь однородной пластинки.

Рис. 19. Центр тяжести однородной пластины.

Тогда координаты центра тяжести тела можно записать:

Вынося у' за знак суммы в числителе и знаменателе как величины постоянные для данного тела и производя сокращение, получим формулы для определения координат центра тяжести плоской фигуры в её плоскости, то есть где F_t — площади отдельных частей фигуры;

*/, Ух — координаты центров тяжести этих частей.

Произведение части площади F, фигуры на расстояние от центра тяжести до какой-либо оси называется статическим моментом этой части площади относительно данной оси. Так статический момент S, площади F, относительно оси х будет StrFryu а относительно оси у будет Sry=Fi? х,.

Сумма статических моментов всех частей фигуры называется статическим моментом площади фигуры относительно данной оси:

Статический момент площади выражается единицами длины в третьей степени: м³, см³, мм³.

Координаты центра тяжести плоской фигуры можно выразить через статические моменты площадей. В общем виде, если какая-либо сложная фигура, площадь которой равна F = ?/*] «разделена на несколько простых частей, то

Если начало координат расположить в центре тяжести площади, то статические моменты относительно осей х и у, проходящих через центр тяжести, будут равны нулю, так как в этом случае у_с — 0 и х_с = 0.

Следовательно, статический момент плоской фигуры относи-

тельно любой центральной оси равен нулю.

Рис. 20. Положение центра тяжести некоторых плоских геометрических фигур.

Приведем определение координат центров тяжести некоторых фигур, наиболее часто встречающихся при решении задач. Центр тяжести параллелограмма, прямоугольника, квадрата, ромба совпадает с точкой С пересечения диагоналей (рис. 20, а). Центр тяжести треугольника лежит в точке С пересечения медиан, а её высота находится на расстоянии V3 высоты от основания (рис. 20, б). Положение центра тяжести сектора круга (рис. 20, в) определяется по формуле.

где, а — центральный угол сектора, рад.

При (х = ~ (полукруг).

Положение центра тяжести сегмента (рис. 20, г) определяется по формуле

При сегмент превращается в полукруг.

При решении задач на нахождение центра тяжести фигуры с отверстиями и другими пустотами различной формы их площади необходимо считать отрицательными.

Пример 3. Определить положение центра тяжести плоской фигуры с полукруглыми и треугольным отверстиями, изображенной на рис. 21. Размеры фигуры в миллиметрах указаны на чертеже.

Рис. 21. Расчет положения центра тяжести плоской фигуры.

Решение. Разбиваем фигуру на три части: прямоугольник I со сторонами 400×500 мм; полукруг II и треугольник 1П, причем площади полукруга и треугольника будем считать отрицательными. Выбираем оси координат, как показано на рис. 21. Вычисляем координаты центров тяжести и площади отдельных частей фигуры:

Вычисляем координаты центра тяжести всей фигуры: