Метод проницаемости. 
Высшая математика: математический аппарат диффузии

При изучении нестационарной газопроницаемости, измеряемой на аппаратуре с ограниченным объёмом резервуара и/или приёмника, небольшие размеры камер используются для повышения чувствительности аппаратуры и повышения точности определения коэффициента диффузии. Однако при этом концентрации на поверхностях мембраны изменяются во времени, что существенно затрудняет обработку результатов.

Рассмотрим первую краевую задачу для сорбции-десорбции и проницаемости при ограниченной ёмкости резервуара и/или приёмника. Задача с неявно заданными граничными условиями.

Десорбция из полубесконечного пространства в откачиваемый объём.

Рассмотрим первую краевую задачу для полубесконечного пространства при дегазации в откачиваемый объём. Образец (толщина Я, площадь поверхности 5) помещён в откачиваемый объём и при нагреве выделяет газ в откачиваемый сосуд (объём V, скорость откачки W) в результате чего парциальное давление диффузанта непрерывно меняется, так что граничные условия на границе образца зависят от времени.

В этом случае коаевые условия имеют вил

где о)=W/V.

При довольно больших временах (но не слишком больших, чтобы ещё выполнялось условие полубесконечной среды) поток из пластины.

Здесь поток не зависит от скорости откачки.

При малых временах.

Есть решение и у третьей краевой задачи для дегазации полубесконечного пространства как в откачиваемый, так и в замкнутый объём.

Ограниченная пластина в резервуаре ограниченной ёмкости. Рассмотрим кинетику сорбции газа пластиной толщинойН= 2L, расположенной в замкнутом сосуде ограниченной ёмкости. Пластина занимает пространство: -L а газ сосредоточен в объёме: -L-a_f L

Решаем уравнение:

с начальным условием:

С= о; -Lо.

Здесь скорость, с которой диффузант покидает газовую фазу, всегда равна скорости, с которой он входит в пластину через её поверхности. Граничное условие:

Распределение концентрации:

где q_n — ненулевой положительный корень уравнения tgq_n = — aq_n

где q_n — ненулевой положительный корень уравнения tgq_n = —ocq_n.

у

Для перехода к безразмерному виду введём параметры: а = ——,.

* *2.

а а

ос — — или, с учётом константы растворимости, ос = — .

L YL

Табл. 5. Значения некоторых корней уравнения tgq_n = -ccq"

Количество поглощённого вещества:

*__*__*.

Одна из причин сложности математического аппарата диффузии связана с тем фактом, что помимо трудностей с записью исходного дифференциального уравнения необходимо адекватно учитывать начальные и граничные условия. Если на границах образца концентрация постоянна (или равна нулю), то задача считается простой. Но концентрация на поверхности может изменяться, либо по воле экспериментатора, или самопроизвольно. Помимо этого, возможны граничные условия четырёх различных типов, каждое из которых требует своего математического описания. Трудности существенно возрастают, если на различных поверхностях образца функционируют граничные условия разного типа и вдобавок ко всему являются нелинейными и нестационарными.