Диаграммный метод представления и анализа ФХС

При анализе сложных ФХС обычно выделяют основные физические и химические процессы, протекающие в системе, и параметры, с помощью которых характеризуют состояние системы. Для наглядного графического представления таких систем используют диаграммы взаимных влияний физико-химических процессов и диаграммы взаимосвязей между параметрами [8, 9J. Данное представление систем в ряде случаев может служить основой для качественного анализа. Ниже основное внимание уделяется диаграммам связи параметров состояния систем.

Рассматривая пекоторый параметр (температуру, концентрацию, скорость движения среды и т. п.) изучаемого объекта, на основе априорной информации или сведений, полученных непосредствен.

Рис. 2.13. Диаграмма ФХС, характеризуемой двумя параметрами.

но с данного объекта, установим, в каком диапазоне может находиться значение его величины. Пусть этот диапазон образует универсальное множество U. Конкретное значение параметра может быть выражено в количественном виде с указанием погрешности измерений. В случае больших ошибок в измерения* роль словесного описании системы преобладает. При простейшем качественном анализе величина выбранного параметра может быть словесно определена терминами типа «высокий», «низкий», «быстро», «медленно» и др.

В зависимости от требуемой детализации формализация выбранных терминов может выполняться на основе теории множеств, построенной на двузначной логике, или теории нечетких множеств. В последнем случае каждый из терминов характеризуется нечетким подмножеством соответствующего универсального множества.

Проведем анализ системы, которая характеризуется двумя параметрами Т_г и Т₂• Диаграмма такой системы показана на рис. 2.13. Для каждого параметра установим универсальное множество U_Y и U₂- Связь между параметрами Т_х и Т₂ может быть задана различными способами: функциональной зависимостью, дифференциальным уравнением и др. Ддя наших целей интерес представляет случай, когда эта связь определяется нечетким отношением /?, которое представляет собой нечеткое подмножество универсального множества, образованного декартовым произведением и_х X U₂.

При анализе стационарного состояния системы и отсутствии возмущающих факторов нечеткое отношение R может быть вычислено применением композиционного правила вывода. Пусть анализ поведения параметров Т_л и Т₂ показал, что если величина параметра Т₁ будет принимать значение, характеризуемое термином «высокий», то при этом величину параметра Т₂ можпо определить понятием «низкий», в противном случае величина параметра Т₂ характеризуется. термином «не низкий». Выбор нечетких терминов, а также словесного описания основывается на априорных сведениях о поведении системы, а также личном, субъективном опыте каждого исследователя. Весьма важным является то, чтобы используемая качественная информация была достоверна.

Для достижения данной цели необходимо использовать различные источники и находить пересечение имеющейся информации, оценивая при этом достоверность первичных сведений.

Для рассматриваемой системы, которая описывается двумя параметрами Г, и Г₂, определим каждый из упомянутых терминов. Предположим, что.

В последнем выражении использовапа операция дополнения нечеткого подмножества Л₂:

Нечеткое отношение Л, которое формализует связь между Т₁ и Т₂, определяется следующим условным предложением: «если А_1ч то А₂, иначе Л₃». Формализация данного предложения задается выражением.

Используя (2.59)—(2.62), вычислим нечеткое отношение Л в соответствии с выражением (2.63). Для этого найдем декартовы произведения.

Напомним, что в этих матрицах элемент (i, /) является степепьк> принадлежности рл (иц и₂) для г'-го значения и_г и /-го значения и₂ ЕЕ U₂. Используя полученные декартовы произведения и определение объединения нечетких множеств, в соответствии с выражением (2.63) найдем нечеткое отношение R в виде матрицы.

Вычислив таким образом связь между параметрами Т_г и Т₂ и воспользовавшись композиционным правилом вывода, можно, задавшись величиной параметра Т₁ в виде нечеткого подмножества А универсального множества U_l} определить величину параметра Т₂ в виде нечеткого подмножества В универсального множества U. Для этого используем композицию, под которой будем понимать максминное произведение. Данную композицию записывают в виде В = А о /?.

В рассматриваемом примере, приняв почетное подмпожество А = 0,4/1 Ч- 0,8/2 + 0,4/3 4- 0/4, получим.

Таким образом, зная связь между параметрами Т_х и Т₂ в виде нечеткого отношения /?, можно оценивать величину параметра Т₂ нечетким множеством.

Идентификация нечеткого отношения Я в ФХС, которая характеризуется двумя параметрами, может выполняться и для дипамичоекпх систем [27]. Пусть поведение ФХС описывается печетким уравнением, которое построено с использованием максминпого произведения:

П₊1 = Х_к о R, (2.64).

где У*., Х_к — нечеткие подмножества универсального множества U в к-й момент времени; Я — нечеткое отношение, определенное на декартовом произведении U х U.

Задача заключается в нахождении нечеткого отношения Л, используя для этого серию измерений нечетких подмножеств {X_fr} и {У*}. Иными словами, требуется решить нечеткое уравнение (2.64) относительно неизвестного нечеткого отношения Я [36].

Решение данной задачи основано на понятии а-композиции, которую с помощью функций принадлежности записывают в виде.

для любых х, у U. Аналогично определяют a-композицию двух нечетких подмножеств А и В универсального множества 6/, которую обозначают как

или с помощью функций принадлежности записывают в виде He (*i У) = Ра (*) а Рв (У) Для любых х, у U.

Для решения задачи по идентификации нечеткого отношения Я, которое входит в уравпепис (2.64), примеппм а-комиозицию к серии измерений нечетких подмножеств {X_fr} и {У*}. В этом случае (2.66) будет иметь вид.

Установим, в какой связи находятся нечеткие отношения R и R_k. Подставляя уравнение (2.64) в (2.67), получим R_k — — Х_к @ (X*. о R). Запишем полученное равенство, используя определение а-композиции (2.65) и максмипного произведения нечетких подмножеств. Получим.

Уел овие Hr. (*, у) — 1 при р* (х) < V (Ил* (*) Л Hr (*, Р".

* ^к _щ хе. и ^к

приводит к неравенству.

Второе условие, а именно при.

дает следующее. Из неравенства (2.69) следует, что р* (я) > > |Хд (х, у) для xjg U. Поэтому из равенства (2.68) получим.

Для данного случая имеем [i_Rjc (х, у) = i_R (х, у).

Таким образом, используя a-композицию, получим оценку R_k неизвестного отношения R. Данная оценка является завышенной в смысле выполнения неравенства рд_к (х, у) > (х, у) для любых х, у (ЕЕ U. Поэтому нечеткое отпошепие R_k включает нечеткое отношение Л, т. е. R_k 3 R. Окончательная оценка нечеткого отношения R находится вычислением пересечения нечетких отношений.

Например, пусть изучаемая система описывается уравнением Y_k — Х_к о R и задана серия измерений входных {X*-} и выходных {У*} (к = 1,2,…) параметров, каждое из которых является нечетким подмножеством некоторого универсального множества.

Требуется вычислить оценку нечеткого отношения R.

Положим, что результаты измерений имеют вид.

Отметим, что для данных реализаций степень нечеткости, определяемая выражением

имеет следующие величины: для входного параметра <�р*, = 2,6, для выходного — фу₁ =2,5.

Вычислим оценку нечеткого отношения R по указанным данным:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Находя максминпое произведение У = Х_х о R_lt осуществим проверку:

Полученный результат совпадает с исходными данными:

Пусть на втором шаге измерения получено.

Для этих данных степени нечеткости следующие: y>x_t = 2,4; Фy_t =2,6. Оценка нечеткого отношения имеет вид.

Найдем расстояние Хемминга между полученными оценками

В качестве окончательной оценки нечеткого отношения Л примем пересечение нечетких отношений:

Приведем расстояния Хемминга относительно полученной результирующей оценки: d (Л, R_t) = 0,2; d (Й, Л₂) = 1,0. Отметим, что полученная оценка удовлетворяет условию йэ Д, Для идентификации по серии измерений {Х*} и {У*} нечеткого отношения Л, которое входит в нечеткое уравнение (2.64), можно использовать а-композицию [37]. Эту композицию с помощью функций степепей принадлежности записывают в виде.

для любых х, у ЕЕ: U.

Так же определяют a-композицию двух нечетких подмножеств А и В универсального множества ?/, которую обозначают

или с помощью функции степеней принадлежности представляют в виде цс (х, у) = Нл (*) о |х_в {у) для любых х_у у е U.

Приведем свойства о-композиции:

Свойства а-композпции (2.71)—(2.74) проверяются непосредственно по определению (2.70).

Решая нечеткое уравпение.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

проверим равенство.

где нечеткое отношение Л = X* @ У*₊₁. Определим подмножество универсального множества U следующим образом:

и запишем равенство (2.76) с помощью функций степеней принадлежности. Имеем.

Далее, воспользовавшись обозначением (2.77) и определением композиции, будем иметь

Используя свойство (2.73), получим.

Полученное тождество показывает, что применение о-композиции к измерениям Х_к. и Уц.₊₁ позволяет находить решение уравнения (2.75) относительно неизвестного нечеткого отношения R.

Покажем, в каком соотношении находятся нечеткое отношение R и оценка /?*, полученная с помощью композиции.

Используя уравнение (2.75), получим.

Запишем это равенство с помощью функций степеней принадлежности:

Таким образом, a-композиция позволяет находить оценку 7?_к неизвестного нечеткого отношения R, которая является заниженной в смысле выполнения неравенства (2.79). Следовательно R_k Q с: R. Окончательная оценка нечеткого отношения R находится вычислением объединения нечетких отношений.

Сравнивая оценки нечеткого отношения /?, получаемые с помощью аи а-композиций, видно, что в первом случае имеем верхнюю грань искомого нечеткого отношения, во втором — нижнюю грань.

Анализ ФХС, которые характеризуются двумя параметрами, требует формировании сведений о поведении изучаемого технологического процесса. Обычно такие сведения получают на основе априорных знаний; исследований, проводимых непосредственно на объекте; опыта работы операторов-технологов. Формализация полученной качественной информации обеспечивается заданием функций степеней принадлежности в нечетких подмножествах, что может выполняться одним из методов, рассмотренных в разд. 2.3.

Рассмотренный метод анализа ФХС позволяет использовать качественную информацию при синтезе математических моделей реальных производств и является основой при анализе более сложных систем.

Перейдем к анализу ФХС, которая описывается тремя параметрами. Диаграмма взаимодействия между параметрами в такой системе имеет вид, показанный на рис. 2.14. На параметр Т₂ оказывают влияние параметры Т₁ и Т₃. Связи между параметрами Т_х и Г₂, а также между Т₃ и^{определенытаким} же образом, как это делалось в случае системы с двумя параметрами. Формализованным представлением связей являются нечеткие отношения R_x и R₂. Располагая словесным описанием поведения ФХС, мы можем вычислить эти нечеткие отношения по выражению (2.63) или методом идентификации нечетких отношений. В данном случае предполагается, что влияние параметров может быть описано максминным произведением.

Если величины параметров Т_х и Т₃ известны в виде нечетких подмножеств А_х и A_3t то для вычисления величины параметра Т_г воспользуемся максминными произведениями: А = А_х ° R_x Л = Л₃ о /?₂. При этом величину параметра Г₂, характеризуемую нечетким подмножеством А_1л найдем как пересечение нечетких подмножеств: А_г = А П АОтметим, что нечеткие подмножества А₂, А и А принадлежат одному и тому же универсальному множеству U.

Если заданы нечеткие подмножества А_г и Л₃, а требуется вычислить нечеткое подмножество А_Х1 в общем случае решение может быть неоднозначным. Поэтому при решении прикладных задач используют дополнительные предположения, основанные на особенностях изучаемого процесса, которые определяют характер функции степеней принадлежности нечеткого подмножества А_х. Такая ситуация возникла при синтезе алгоритма управления показателем текучести расплава полиэтилена, что будет рассмотрено в гл. 4.

В разбираемом диаграммном методе представления и анализа ФХС связи между параметрами описываются бинарными нечеткими отношениями вместо многомерных зависимостей между различными переменными. Это обусловлено желанием преодолеть трудности, связанные с обработкой больших массивов информации как на этапе ее подготовки, так и на этапе машинного счета. Отмеченные трудности порождают проблему замены многомерного отношения песколькпмп отношения. мн меньшей размерности, которая ведет к резкому сокращению трудоемкости использования формализованных зависимостей.

При такой замене результаты использования отношений, полученных декомпозицией многомерпой зависимости, должны быть некоторым образом скомбинированы. В рассмотренном примере анализа ФХС, которая описывается тремя параметрами, эта комбинация обеспечивается операцией пересечения нечетких подмножеств. Указанная комбинация должна удовлетворять условию наименьшего отличия от результата возможного использования многомерного отношения, которое более точно описывает исходную реальную зависимость. С целью обоснования правила комбинирования докажем следующее.

Предложение. Пусть R является (п 4- 1)-арным нечетким отношением, определенным на декартовом произведении (п + 1) универсальных множеств U_v X U₂ X. .. X U_n х У; i_R (u[. ... ., ijj) — функция степепей принадлежности нечеткого отношения /?, где iii е U_u.. ., и¹п е и_п, yj ^ У; U = 1, L_t —.

номер элемента множества U_t (i = 1, /г); / = 1, К — номер элемента множества У.

Пусть Х_х,.. ., Х_п — нечеткие множества, определенные на множествах U₁₁.. ., U_n функциями степеней принадлежности РХх («*),.. ., Цх_п (w?ⁿ) соответственно; декартово произведение нечетких подмножеств X_l х Х₂ х … X Х_п = А, где А — нечеткое подмножество с функцией степеней принадлежности Цл (i4s.. и'»);

где = proj И на U_f X У; В, В% — нечеткие подмножества, определенные на множестве У функциями степеней принадлежности Цв (yj), |Лв_{ (yj), У) ^ У.

Тогда различие между подмножествами В и L = comb (2?_х,.. .

.. ., #_п), где comb означает комбинацию множеств с использова-. нием операций объединения и пересечения, в смысле расстояния Хемминга.

будет минимально, если.

Доказательство. Для нечеткого подмножества Я, являющегося результатом композиции (2.80), можно записать равенство.

где q — последовательность индексов Z_lt Z₂,.. l_n; Z* = 1,.

Используя определение декартова произведения нечетких подмножеств.

с учетом соотношения (2.82) получим

Согласно определению проекции нечеткого отношения функцию степеней принадлежности нечеткого отношения R_t представим следующим образом:

По условию доказываемого предложения при получении нечеткого множества L используются операции объединения и пересечения нечетких множеств В_и.. В_п. Это значит, что в качестве степени принадлежности ii (yj) элемента yj для любого / = 1, К в коночном итоге выбирается одно из значений |х_В| (у_})_% .. .

Следовательно, каждую из разностей (2.94) минимизирует набор которому соответствует.

(2.93) имеем (yj) > (yj) V; = 1, К.

Расстояние Хемминга между множествами L и В определяется выражением.

Поскольку слагаемые независимы, расстояние Н (L, В) достигает минимума в случае одновременной минимальности каждой из положительных разностей.

Поскольку

При этом доказано, что расстояние Хемминга // (L, В) минимально при использовании операций пересечения множеств B_t (/ =.

= Ту п).

Для примера рассмотрим построение диаграммы взаимных влияний параметров сложной ФХС. Пусть основным процессом, протекающим в системе, является движение сплошной среды 19]. Среда является вязкой ньютоновской жидкостью. Ограничиваясь непрерывными движениями, рассмотрим в прямоугольной системе координат с точки зрения Эйлера поведение элементарного объема V.

Исходным положением при описании движения сплошной среды является равенство скорости накопления количества движения (СНКД) объема V сумме, состоящей из: 1) СНКД за счет конвекции (СНКДк) и вязкого переноса (СНКД_В); 2) силы давления (СД) и массовой силы (МС).

На рис. 2.15 показана диаграмма связи указанных величин, характеризующих движение вдоль оси координат X. В принятых переменных^{-компонента} вектора СНКД единицы объема определяется изменением во времени t величины, равной произведению плотности среды р на проекцию вектора скорости среды на ось абсцисс v_x (дуга 5, здесь и дал ее в этом примере верхний индекс показывает, по какому параметру происходит изменение рассматриваемой величины). С учетом конвекции х-ломпонента вектора СНКДк в направлении оси X (дуга 1) определяется изменением величины pv_xv_x по оси X (дуга 6), а в направлении осей У и Z — величинами (piy>*)^v и (pv_zv_x)^z (дуги 7,8). Точно так же определяется СНКДв (дуга 2). Для этого рассмотрим величину т_ух — поток х-компоненты количества движения в направлении оси У. Тогда х-компопента СНКД_В в направлении оси У будет определяться величиной Ту* (дуга .9), а в направлении осей X п Z величинами Тхх и т1х (дуги 10, 11). Проекция СД на ось X (дуга 3) определяется изменением давления р по этой оси (дуга 12).

При таком подходе движение сплошной среды описывают уравнением Навье—Стокса, которое в проекциях на оси координат можно записать в следующем виде: по коордипате X

где /_х, /у, /_г — проекции массовой силы / (дуга 4) на оси координат.

Аналогично строится диаграмма взаимных влияний параметров, характеризующих движение сплошной среды, но другим координатам.

Связь сил внутреннего трения (вязких напряжений) со скоростью среды задается равенствами:

где г| — вязкость среды.

Введем обозначения для производных от проекций скоростей:

Рио. 2.16. Диаграмма взаимных влияний величии, характеризующих стационарное, ламинарное движение снлошной среды при нагреве ее свободной поверхности Аналогично.

Тогда уравнения Навье—Стокса примут вид: по координате X

по коордппате У

по координате Z

Пусть интерес представляет поведение ФХС в плоскости XOY при следующих допущениях: 1) рассматривается стационарная задача; 2) плотность р и вязкость ц среды не зависят от координат; 3) давление в среде определяется гидростатическим давлением как в покоящейся жидкости; 4) пренебрегаем конвективными членами. Массовая сила определяется силой тяжести, действующей вдоль оси У. Тогда уравнения движения среды примут вид:

по координате X по координате У.

При этих допущениях диаграмма, показанная на рис. 2.15, примет вид, изображенный на рис. 2.16, где учтен закон сохранения массы:

Предположим, что причиной движения среды является ее неравномерный нагрев сверху. Изменение давления по координатам определяется заданным полем температур Т (я, у). Изменение давления по координате X определяет величину tJ* (см. рис. 2.16, дуга 7), которая воздействует на величину тЦ* (дуга 2), обеспечивая равенство, лежащее в основе диаграммы, показанной на рис. 2.15. По величине Тхх определяется v* (дуга 9), а по величине v* находится v_x (дуга 15). Другой маршрут определения v_x — дуги 7, 2, 6, 70, 70. Аналогично имеем два маршрута для определения v1) дуги 3, 7, 12, 77; 2) дуги 0, 7, 0, 70, 70. Связь величин т_х?/ и yjf, а также т _х и v_y задана дугами 77, 14.

Согласно методу нечетких множеств связи на диаграмме рассматриваем как нечеткие отношения между величинами, представляющие собой нечеткие подмножества соответствующих универсальных множеств.

В общем виде нечеткие отношения могут быть определены следующим высказыванием: R_t == если А есть D, то В есть Е, иначе В есть С. Здесь А, В — нечеткие переменные; D, Е, С — символы для обозначения нечетких множеств.

Примерами нечетких отношений являются следующие:

7?! = если х близко к 0 или х близко к 7, то v_x близко к 0;

Т?₂ = если р^х меньше 0, то т_Л* больше 0;

^ X.

Я_:) ³⁼³ если v_x больше 0, то v_x (х -f* А*) больше v_x (х) и т. п.

Подчеркнем важность связи между ь* и i^J, которая отмечена на рис. 2.16 дугой 19 и реализует закон сохранения массы: v% + + i>J = 0. Эта арифметическая сумма является основной предпосылкой для установления связи между указанными величинами.

Алгоритм расчета заключается в следующем. Для каждой фиксированной точки рассматриваемой области с координатами (х, у) задаются значения величин р^х как одноточечного множества и вычисляется нечеткое подмножество v_x универсального множества Q с помощью композиции: v = р^х о S_x; S, = R_b ° (Т?₉ ° (Т?₅ ° о 7?,)). Аналогично найдем нечеткое подмножество vl универсального множества Q с помощью композиции другого маршрута: vl = Р^х ° S₂ — В₁₉ о (7?₁₀ о (В₆ о (R₂ о 7?_х))). Нечеткое подмножество v_x определим пересечением нечетких подмножеств: v_x = = v f| ^vl• Точно так же может быть найдено нечеткое подмножество и_у универсального множества W. В качестве расчетных значений компопент скорости принимаем элементы нечетких подмножеств и_х и v_v с максимальной степенью принадлежности.

Выбор универсального множества можно осуществить, зная диапазон изменения величины параметров, как отмечалось выше, но можно поступить и иным образом. Зададимся некоторым универсальным множеством, например 7/ = 0+1-Ь2 + … + л. Результатом решения задачи методом формализации и переработки качественной информации с помощью математического аппарата нечетких множеств являются нечеткие подмножества, характсри зующие технологические параметры, которые могут изменяться как по пространственным координатам, так и во времени. В качестве рассчитанной величины параметра принимают обычно такой элемент универсального множества, степень принадлежности которого нечеткому подмножеству максимальна. ' Для перехода к реальным значениям величины параметра используют принцип обобщения.

Напомним, что принцип обобщения постулирует следующее правило перехода от одного универсального множества U к другому V. Если известно отображение /: U —>- V и задано почетное подмножество А универсального множества U

то выполняются следующие равенства:

Вид функции /, а также способ ее нахождения зависят от решаемой задачи.

Рассмотренный диаграммный метод представления и апализа ФХС, в котором связи между параметрами системы описываются нечеткими отношениями, позволяет синтезировать вычислительные процедуры для решения инженерных задач. Наряду с этим изложенные в главе методы формализации и переработки качественной информации позволяют предложить систему машинной обработки информации [40].