Символьно-численный алгоритм разложения модельной функции в ряд Тейлора и возможности его применения для моделирования многосвязных объектов

СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РАЗЛОЖЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ В РЯД ТЕЙЛОРА И ВОЗМОЖНОСТИ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЪЕКТОВ

Излагается алгоритм разложения модельной функции в ряд Тейлора на основе специально организуемой процедуры получения набора значений этой функции. Алгоритм совмещает выполнение символьных и численных вычислений, применим для преобразования моделей многосвязных объектов.

Развитие методов математического моделирования в теории управления привело к естественному усложнению истолкования получаемых результатов и способов реализации необходимых процедур по выполнению символьных преобразований (аналитических вычислений).

Например, создание универсальных манипуляционных роботов потребовало разработки методов моделирования полной пространственной динамики сложных механических объектов с произвольной кинематической конфигурацией и с любым числом степеней подвижности. Методы, развитые в работах [1,2], позволяют выполнить компьютерное моделирование динамики манипулятора с исполнительной системой управления по исходным данным без выписывания векторно-матричных уравнений, т. е. алгоритмическим путем. Вместе с тем, преобразование математических моделей таких систем к форме, удобной для использования методов теории автоматического управления, способствует постановке и решению задач управления, если преобразованные модели содержат небольшое конечное число символьных данных, а над остальными численными коэффициентами выполнены все допустимые действия. Такое рассмотрение математических моделей многосвязных объектов делает актуальным разработку алгоритмов экспликации («расписывания») этих моделей при одновременном выполнении действий с символьными и числовыми данными. Существующие к настоящему времени системы компьютерной алгебры (СКА) [3] в основном ориентированы на выполнение фундаментальных исследований и как инструментальная поддержка в инженерной практике используются редко. Представляется актуальным выполнение аналитических вычислений в результате реализации численного эксперимента, организованного по определенному плану, реализация которого понятна специалисту в его профессиональной сфере деятельности, достаточно легко контролируема и не требует сложного специализированного программного обеспечения.

Целью данной работы является обоснование алгебраического алгоритма, использующего многоосновные системы счисления и теорию абелевых групп, а также методики на его основе для организации процедур символьно-численной экспликации математических моделей многосвязных систем управления.

В математических моделях многосвязных систем в качестве составляющих частей более сложных символьных выражений встречаются полиномы от нескольких переменных. По этой причине целесообразно обосновать алгоритм и методику его применения для приведения некоторой функции от нескольких переменных, заданной вычислительной моделью, к форме ряда Тейлора. Такую функцию назовем модельной функцией.

Пусть некоторую модельную функцию требуется представить рядом Тейлора вида:

. (1).

Предполагается, что в функции переменные рассматриваются как аргументы, а числовые коэффициенты в разложении (1) являются функциями от известных значений числовых параметров моделируемой функциональной зависимости. Назовём многочлен (1) экспликацией (разложением) модельной функции. Таким образом, задача экспликации будет решена, если вычислены значения коэффициентов многочлена и степени для каждого слагаемого в сумме (1).

Методы алгебры, в частности методы теории абелевых групп, позволяют построить общий и с вычислительной точки зрения практически реализуемый алгоритм решения задачи экспликации модельной функции многочленом (1) [4].

Пусть каждый показатель степени, принимает значения из множества положительных чисел Это позволяет понимать его как элемент циклической группы вычетов целых положительных чисел по модулю Прямая сумма групп записывается в виде, что можно понимать как запись числа в многоосновной позиционной системе счисления :

. (2).

В представлении (2) младшим разрядом числа считается первый разряд справа. Общее число элементов аддитивной группы равно Групповая операция сложения определяется как поразрядное сложение чисел по модулю в каждом разряде без переноса единицы переполнения в старший разряд. Запись этой операции сложения имеет вид:

(3).

Такой способ сложения называется — сдвигом [5].

Все характеры группы определяются, как числа в поле комплексных чисел. Порождающим элементом группы является. Группы имеют порядки, соответственно, а — примитивный корень степени из единицы:

(4).

где .

Если — произвольный характер группы, то для каждого является корнем степени из единицы (4) и равен.

(5).

Каждый элемент из группы однозначно имеет представление, а ый характер, (, этой группы представление в виде:

(6).

где, — значения разрядов чисел в многоосновной системе счисления (2). Каждый характер является функцией функцией аргументов. Все характеры составляют по умножению циклическую абелеву группу характеров. Из формулы (6) следует, что номер характера в группе и число равноправны. Поэтому введем для характера новое обозначение и определим операцию умножения характеров по формуле.

. (8).

Пусть — функция, которая отображает группу в поле комплексных чисел, а её значения определяются набором из значений:

. (9).

Следовательно, она может быть представлена N-мерным вектором в векторном комплексном пространстве С. По теореме о независимости характеров [3] все функций линейно независимы, что позволяет выразить каждую функцию через характеры:

(10).

где — коэффициенты разложения, названные в [5] спектральными коэффициентами.

Линейная независимость характеров является следствием их ортогональности в смысле скалярного произведения:

(11).

где черта означает комплексное сопряжение.

Спектральные коэффициенты в сумме (10) определяются с учетом скалярного произведения (11)согласно формуле:

(12).

Взаимосвязь экспликации (1) с формулами (10) и (12), составляющими пару преобразований Фурье, выражается в следующем. Если в равенстве (6) выбрать одно, равным 1, т. е. вом разряде стоит 1, а остальные равными 0, то в результате получим характеры:

(13).

Тогда характер с произвольным номером представим в виде:

(14).

Из представления (14) и равноправного использования чисел и следует возможность замены каждой из переменных многочлена (1) на соответствующий характер в обеих частях равенства (1). В итоге получаем функцию от переменной :

(15).

Согласно равенству (10) формула (15) определяет функцию как вектор, к которому применима формула (12) для вычисления спектральных коэффициентов, которые совпадают с соответствующими коэффициентами при каждом слагаемом многочлена (1). Степени переменных равны числам в разрядах числа ,.

записанного в многоосновной системе счисления (2).

Наиболее наглядно можно описать алгоритм необходимых вычислений, если воспользоваться представлением всех характеров группы мультипликативной системой дискретных ортогональных функций Виленкина-Крестенсона [5]. Система этих функций представима квадратными симметрическими матрицами размером, полученными как кронекерово произведение матриц меньшего размера:

(16).

где квадратная симметрическая матрица есть матрица дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) [5]:

(17).

где — номер строки, — номер столбца,.

В матричной форме спектральные коэффициенты вычисляются по формуле:

(18).

где черта означает комплексное сопряжение, — -тое значение вектора-столбца =.

В общем случае экспликацию модельной функции (1) можно записать в виде.

(19).

где — координаты точки, в окрестности которой выполняется экспликация модельной функции.

Если при расчете компонент вектора применить подстановку.

(20).

то разложение будет выполнено в точке с применением масштабных множителей. В этом случае коэффициенты при слагаемых в сумме правой части равенства (19) будут вычислены по формуле (18) с последующим делением на произведение масштабных множителей, возведенных в соответствующие степени, т. е. на произведение.

Обратимся теперь к задачам структурных методов теории автоматического управления, в которых уместно применение изложенного алгоритма, Имеется достаточное число примеров систем, исследование которых является чрезвычайно трудным по причине необходимости учета сложных взаимосвязей, Такое положение характерно для многомерных и многосвязных электромеханических систем (ЭМС) [6−8]. Применение в этом случае метода структурных матриц является наиболее удобным для применения символьно-численных преобразования [8]. Структурная матрица представляет собой вычислительную модель задачи по изучению структурных особенностей системы, представленной структурной схемой. Основное свойство структурной матрицы состоит в том, что элементы обратной ей матрицы совпадают с передаточными функциями между отдельными входами и выходами структурной схемы, а, следовательно, исходной схемы [6,8]. Для определения искомых передаточных функций необходимо выполнять стандартные вычисления по разложению определителя структурной матрицы.

На рис. 1 изображена структурная схема формальной модели линейной динамической системы с перекрестными связями. На схеме направление стрелок отражает направление распространение сигнала. На рис. 2 изображена структурная матрица для этой схемы. Пустые клетки матрицы содержат нули, а сама она имеет размер (7Ч7). Определим передаточную функцию. Для этого в структурной матрице на пересечении последней строки (переменная) и первого столбца (переменная) укажем клетку (рис. 2).

Рис. 1. Структурная схема динамической системы.

Тем самым на матричной вычислительной модели указывается запрос на поиск передаточной функции от входа к выходу. Для элемента этой клетки следует вычислить алгебраическое дополнение и затем разделить его на определитель структурной матрицы.

Рис. 2. Структурная матрица для структурной схемы

Использование предлагаемого алгоритма экспликации состоит в выполнении следующих методических шагов алгоритма.

Шаг 1. Выбираются переменные, которые будут представлены в синтезируемой передаточной функции в буквенном виде (их число равно числу разрядов многоосновной системы счисления); затем определяются основания разрядов.

Объявим переменными (итого), назначим основания разрядов: для переменной первый разряд (), для переменных второй и третий разряды соответственно (). Остальным переменным присвоим числовое значение, например, число 1.

Шаг 2. Выбираются столбцы матрицы.

.

которые представляют значения функций (13). В примере это будут функции, значения которых соответствуют элементам первого, пятого и десятого столбцов матрицы. При необходимости используют подстановку (20).

Шаг 3. Последовательно выбирая строки матрицы, подставляют значения функций в структурную матрицу в качестве значений переменных: и для каждой подстановки вычисляют её определитель, который равен значению. Таким образом, вычисляются все двадцать компонент вектора .

Шаг 4. По формуле (18) вычисляют спектральные коэффициенты.

Шаг 5. Формируют на печати многочлен вида (1).

В данном примере искомая передаточная функция найдена в виде:

(21).

Рассмотренный простой пример демонстрирует методику выполнения структурных преобразований по предложенному алгоритму.

Методика аппроксимации нелинейной функции от нескольких переменных полезна при исследовании устойчивости управляемой системы в окрестности некоторого её положения равновесия. Применение в этом случае алгоритма аналогично порядку, который изложен выше, но при замене определителя структурной матрицы на выражение функции, подлежащей аппроксимации. алгоритм тейлор модельный функция Например, при исследовании динамики многосвязной ЭМС манипуляционного робота требуется аппроксимировать многочленом не выше второй степени функцию, которая входит в уравнения кинематики манипулятора [8]. Пример такой функции представлен выражением:

(22).

где — углы между осями кинематических пар. Выполним разложение этой функции в точке: В этом случае можно выбрать матрицу для получения приемлемой точности и выполнить необходимые вычисления. Аппроксимирующий эту функцию многочлен от двух переменных имеет вид:

(23).

Рассмотренные примеры только намечают круг задач, в решении которых разработанный символьно-численный алгоритм может быть полезен и эффективен. Методика его реализации не требует сложного программного обеспечения. Однако объем вычислений по формуле (18) составляет примерно операций. Если воспользоваться приемами быстрого преобразования Фурье (БПФ), то объем вычислений сокращается. С целью этого следует воспользоваться приемом факторизации матрицы.

. (24).

Это позволяет заменить кронекерово произведение матриц обычным умножением матриц одного размера. В получаемом произведении матриц каждый сомножитель представлен матрицей, слабо заполненной ненулевыми элементами, а необходимый объем вычислений составляет операций. Например, для матрицы факторизация выполняется в следующей последовательности. Записывается произведение единичных матриц в порядке следования сомножителей факторизуемой матрицы, затем составляется произведение слабо заполненных матриц:

. (25).

Предложенные авторами в данной работе алгоритм и методика его применения относятся к практическим приложениям абстрактного гармонического анализа, рассматривающего теорию абстрактных рядов Фурье и интегралов Фурье [9]. Представлению целых чисел в многоосновной системе счисления с операцией сложениясдвиг, используемым в работе [5], соответствует аддитивная абелева группаадических целых чисел. Характеры этой группы образуют мультипликативную абелевую группу дискретных функций, которая интерпретируется как ортогональный базис конечномерного линейного пространства для представления вектора значений модельной функции. Интерпретация в формуле (18) спектральных коэффициентов как коэффициентов экспликации многочлена (1) впервые дана в работе [8]. Задача аппроксимации функции нескольких переменных многочленом, представляющим отрезок ряда Тейлора, основана на сходимости в среднем квадратичном при использовании преобразования Фурье.

Выводы.

• 1. Разработан и обоснован символьно-численный алгоритм экспликации вычислительных моделей, пригодный для решения инженерных задач анализа и синтеза многосвязных систем автоматического управления.
• 2. Методика применения алгоритма содержит действия, понятным образом реализуемые как при ручных расчетах для задач небольшой размерности, так и при использовании программных средств в решении задач большой размерности.

• 1. Повов Е.П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С.Л. Манипуляционные роботы. Динамика и алгоритмы.-М.: Наука, 1978.-400 с.
• 2. Медведев В.С., Лесков А. Г., Ющенко А.С. Системы управления манипуляционных роботов.-М.: Наука, 1978.-416 с.
• 3. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления./Пер. с англ. Под ред. Н. Н. Говоруна.-М.: Мир, 1986.-392 с.
• 4. Варден Б.Л. Алгебра./Пер. с нем. Под ред. Ю. И. Мерзлякова. Изд. второе.-М.: Наука, 1979.-624 с.
• 5. Трахтман А.М., Трахтман В.А.Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах.-М.: Сов. Радио, 1975.-208 с.
• 6. Шатихин Л.Г. Структурные матрицы и их применение для исследования систем.-М.: Машиностроение, 1974.-340 с.
• 7. Мееров М.В. Системы многосвязного регулирования.-М.: Наука, 1972.-344 с.
• 8. Клюжев Н.А. Структурно-спектральное моделирование на ЦВМ электромеханических систем: Дисс. …канд. технич. наук.-Л.:1983.-147 с.
• 9. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ: В 2 т.-М.: Наука, 1975. Т. 1. 655 с.