Группы подстановок. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

Напомним, что подстановкой на множестве символов М = {1, 2, …, п} называется всякое взаимно однозначное отображение множества М на себя. Записывается подстановка в виде двухстрочной матрицы, где в первой строке стоят символы множества М, а под ними во второй строке стоят образы символов первой строки. Умножением подстановок называется последовательное выполнение отображений. Например:

2.1. Группа всех подстановок п символов обозначается S_n и называется симметрической группой п-й степени. Всякую подстановку можно записать в виде произведения независимых циклов. При этом одноэлементные циклы можно не записывать. Например:

Найдем произведение тех же подстановок в новой форме:

Упражнение 1.1. Заполните таблицу умножения элементов группы S₃ (е обозначает тождественную подстановку):

Такого рода таблица умножения элементов группы называется таблицей Кэли.

2.2. Напомним, что всякий цикл можно записать в виде произведения транспозиций, т. е. двухэлементных циклов. Например: (1234) = (12)(13)(14) (найдите произведение (12) • (13) • (14) и убедитесь, что равенство верно). Подстановка называется четной (нечетной), если она представима в виде четного (соответственно, нечетного) числа транспозиций. Легко видеть, что множество всех четных подстановок группы S_n само образует группу (подгруппу), она обозначается А_п и называется знакопеременной (альтернативной) группой подстановок п символов.