Свойства несобственного интеграла

Так как несобственные интегралы суть пределы собственных, то их свойства во многом аналогичны свойствам собственных интегралов. Доказательства этих свойств основаны на соответствующих свойствах интегралов Римана, а также свойствах пределов функций.

Обозначим промежуток интегрирования [а, Ь], где, а и Ь могут принимать как конечные, так и бесконечные значения.

1. Линейность интеграла.

1.1. Если функция/интегрируема (в несобственном смысле) на промежутке [а, Ь] и с = const, то и функция с/ также интегрируема на [а, Ь], причем

1.2. Если функции/и g интегрируемы на промежутке [а, Ь], то функция f±g также интегрируема на [а, Ь], причем.

Л.

Следствие. Линейная комбинация a_kf_k конечного числа инте;

к=1.

грируемых на [а, ?>] функций f_k с коэффициентами а_к, к = 1,2,…, п, является интегрируемой на [а, Ь] функцией, причем.

Доказательство вытекает непосредственно из свойства линейности собственных интегралов и пределов функций (см. параграф 1.4).

Замечание 4.6. Сумма (разность) интегрируемой и неинтегрируемой функций есть функция неинтегрируемая.

Действительно, пусть функция / интегрируема (в несобственном смысле) на промежутке [a, b], а функция g — нет. Предположим, что их сумма (разность) является интегрируемой (в несобственном смысле) на [а, Ъ] функцией. Но тогда и функция g должна быть интегрируема на [а, Ь как разность (сумма) двух интегрируемых функций, что противоречит нашему предположению.

Замечание 4.7. Сумма двух неинтегрируемых функций может оказаться интегрируемой функцией. Например, рассмотрим на [1, + °°).

функции f (x) = — и g (*) = -—• х х

Очевидно, каждая из них неинтегрируема на данном промежутке. Тем не менее их сумма f + g = 0 и, следовательно, интегрируема на [1, + °°).

2. Аддитивность интеграла.

Пусть функция / интегрируема (в несобственном смысле) на наибольшем^[1] из промежутков [а,?>, [а, с] и [с, Ь] (а, Ъ, с могут принимать и бесконечные значения). Тогда она интегрируема в двух других, причем имеет место равенство.

В частности, если/интегрируема на [а, + °°) и с > а, то.

Если/интегрируема на (-°°,+ °°), то при любом с имеем.

Если функция/интегрируема в собственном смысле на [а, с] и неинтегрируема на [с, + °°), то она неинтегрируема на объединении этих промежутков, т. е. на [а, +).

Доказательство. Свойство аддитивности несобственного интеграла следует из аддитивности собственного интеграла (см. параграф 1.4).

Например, пусть функция/интегрируема на [а,-и") и с>а. Тогда/ интегрируема в собственном смысле на отрезке [а, А] для любого А > а. Значит,.

Переходя к пределу при, А —> +°°, получим, что.

Если же функция / неинтегрируема на [с, + °°), то это означает, что Л.

не существует предел lim J f (x)dx. Но тогда не существует и предел.

с

Значит, функция/неинтегрируема на промежутке [а, + <�").

+оо.

3. Если сходится интеграл J f (x)dx, то сходится также и любой.

а

+оо интеграл вида J f (x)dx, где А>а, и наоборот, если на промежутке.

А

[а, + °°) нет других особых точек, кроме х = +°°, и А > а, то из сходимости.

+оо -}-оо интеграла J f (x)dx следует сходимость интеграла J f (x)dx, при этом.

А а

Доказательство вытекает непосредственно из определения несобственного интеграла 1-го рода.

• -1−00 +00
• 4. Если интеграл J f (x)dx сходится, то lim J f (x)dx = 0.

а ^Л^⁺~ А

Доказательство. Из предыдущего свойства сразу следует, что.

5. Интегрируемость произведения.

Если функции/и g интегрируемы на [а, Ь], то их произведение fg уже, вообще говоря, не обязательно интегрируемо на [а, Ь].

sinx.

Например, рассмотрим функции f (x)-g (x)~—на промежутке.

Ух

[1, + °о). Интеграл J dx сходится (по признаку Дирихле, см. далее ! Ух

⁺Гsin²х , 1 Tdx l⁺rcos2xdx

подпараграф 4.7.5), однако интеграл I-ах = — I—-I;

jX 2 х 2 х

расходится (как разность расходящегося и сходящегося интегралов).

Замечание 4.8. Обращаем внимание на отличие этого свойства от аналогичного свойства собственных интегралов (там было: если функции / и g интегрируемы на отрезке [а, Ь], то их произведение / • g также интегрируемо на [а, Ь]). Однако при некоторых дополнительных ограничениях на функции/и g интеграл от их произведения будет сходиться (см., например, признаки Дирихле, Абеля, Коши).

Замечание 4.9. Из интегрируемости (в несобственном смысле) на промежутке [а, Ь] произведения двух функций отнюдь не следует интегрируемости на [а, Ь] каждой из них в отдельности. Например, рассмотрим на [1, + °°) функции f{x)-—, g (x) = l. Их произведение.

f{x)g (x) = — интегрируемо на указанном промежутке, а отдельно х²

функция g — нет.

В общем случае если одна из функций интегрируема на некотором бесконечном промежутке, а другая — нет, то их произведение может быть как интегрируемым, так и неинтегрируемым на этом промежутке.

6. Связь интегрируемости с абсолютной интегрируемостьюЕ Если функция/интегрируема на [а, Ь], то функция |/|, вообще говоря, не обязательно интегрируема на [а, Ь].

sin х «^°° Isin xl.

Например, интеграл J-dx сходится, а интеграл J -—dx>

I^х I^х

7° sin² х.

> I-dx расходится.

i x

Наоборот, в рассматриваемом случае несобственных интегралов из интегрируемости функции |/| на [а, Ь] следует интегрируемость на этом промежутке функции/. При этом справедливо неравенство.

Доказательство: см. теорему 4.23 в подпараграфе 4.7.9.

Замечание 4.10. Обращаем внимание на отличие этого свойства от аналогичного свойства интегралов Римана (там было: если функция / интегрируема в собственном смысле на отрезке [а, Ь], то и функция |/| также интегрируема на [а, Ь]).

7. Если функция / интегрируема (в несобственном смысле) на промежутке [а, Ь], то она интегрируема на любом промежутке [с, d] с [а, Ь].

Доказательство. Пусть Ъ — особая точка несобственного интеграла ь

J/(x)dx (и других особых точек на промежутке [а, Ь] нет). Если d

а

то функция / интегрируема в собственном смысле на промежутке [c, d] (по определению несобственного интеграла). Если d = b и [с, d]c[a, b], то очевидно, что/интегрируема в несобственном смысле на [с, d].

8. Интеграл по симметричному отрезку.

Если функция /непрерывна на (-°°, -г °°) и интегрируема на [0, + °°), то

Доказательство. Так как функция / интегрируема на отрезке [О, Л] для любого А>0, то для нее справедливы соотношения (см. подпараграф 3.5.2).

¹ Функция называется абсолютно интегрируемой, если сходится интеграл от ее модуля (см. подпараграф 4.7.9).

Отсюда предельным переходом получаем наше утверждение.

9. Независимость интеграла от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования:

10. Пусть функция / определена на [а,+°°) и имеет период Т> 0, а функция g монотонна на том же промежутке и стремится к нулю при.

а+Т

х—>+<�". Если интеграл (собственный) J f (x)dx = 0, то интеграл

а

+°° Q+T

(несобственный) j f (x)g (x)dx сходится. Если же J f (x)dx = K*0, то

а а

+оо интеграл J /(x)g (x)dx сходится или расходится в зависимости от того,

а

+оо сходится или расходится интеграл J g (x)dx.

а

Доказательство: см. работу [17, гл. XIII, параграф 1, с. 478]. Например, рассмотрим функцию /(x) = sin²x, периодическую с пе;

^ Я риодом Г = л, на промежутке [0, + °°). Интеграл J sin² xdx = — Ф 0. Следо;

о ^

+оо вательно, интеграл J sin²x g (x)dx, где g монотонна на [0, + °°) и стре;

о мится к нулю при х—сходится или расходится одновременно

+оо с интегралом j g (x)dx. С другой стороны, интеграл о

сходится для любой функции g, монотонно на [0, + °°) стремящейся К нулю при X —> +оо.

11. Если функция/интегрируема на [а, + °о)_; то она, вообще говоря, не обязательно ограничена на этом промежутке.

Например, функция, интегрируема (в несобственном

vx³ + х смысле) на бесконечном промежутке [0, +) (см подпараграф 4.7.4), однако, очевидно, эта функция не является ограниченной на нем.

Замечание 4.11. Обращаем внимание на отличие этого свойства от аналогичного свойства интегралов Римана (там было: если функция/ интегрируема в собственном смысле на [а, Ъ], то она ограничена на этом отрезке).

12. Если для двух интегрируемых на промежутке [a, b] (а < b) функций/и g выполняется неравенство /(x)Ъ], то

Доказательство вытекает из соответствующего свойства собственных интегралов (см. свойство 2 в параграфе 2.1) и из теоремы о переходе к пределу в неравенствах.

13. Если функция / интегрируема на [а, Ь], где Ъ — единственная особая точка, то при любом х из промежутка (а, Ь) существует интеграл

F (x) = f (t)dt и представляет собой непрерывную функцию отх.

а

Доказательство. Так как для любого х из промежутка (а, Ъ) найдется число Ае (а, Ь), такое что точка х лежит на отрезке [а, А], и на этом отрезке функция / интегрируема в собственном смысле, то данное утверждение вытекает из теоремы 1.10.

14. Если функция/интегрируема на [а, Ь], и в точке х = х₀ из промежутка (а, Ь) функция/непрерывна, то существует производная для функ;

ции F (x) = f f (t)dt в этой точке, причем F'(x₀) = /(x₀).

а

Доказательство следует из теоремы 1.11.

• [1] На том из промежутков, который содержит в себе оба других.