Определение напряжений в наклонных сечениях при растяжении или сжатии по двум взаимно-перпендикулярным направлениям

При плоском напряженном состоянии ст, >ст₂.

Между направлением а₂ и площадкой угол равен, а + — (рис. 2.23).

Рис. 2.22 Рис. 2.23.

Напряжения ст_а и т_а в произвольном наклонном сечении можно определить из равновесия трехгранной призмы ЛВС (рис. 2.23) или по полученным формулам, суммируя напряжения от действия о, и о₂

(при замене угла, а на, а + -^).

откуда откуда.

Из формулы (2.24) видно, что максимальные касательные напряжения равны полуразности главных напряжений:

Они действуют в сечениях, одинаково наклоненных к направлениям о, и о₂, т. е. при, а = 45⁰ или, а = 135°.

Для двухосного напряженного состояния сохраняет свою силу закон парности касательных напряжений.

Обобщенный закон Гука

Определим с, и с₂ — деформации в направлении главных напряжений при плоском напряженном состоянии (см. рис. 2.22). Для этого используем закон Гука для одноосного растяжения, а также зависимость между продольной и поперечной деформациями.

От действия только о, происходит относительное удлинение в верст, тикальном направлении одновременно в горизонтальном на;

Е

правлении происходит относительное сужение е_2| =-ц—7 (см. формулу (2.5)).

От действия только о₂ в горизонтальном направлении относитель;

^СТ2.

ное удлинение е₂₂ = —=-, а в вертикальном направлении относительное Е

^СТ2.

сужение ?,₂=-ц-=-.

Е

Суммируя деформации, получим:

Если известны деформации е, и е₂, то:

Аналогично для объемного напряженного состояния:

Формулы (2.28) носят название обобщенного закона Гука, т. к. выражают зависимость между напряжениями и относительными деформациями упругого тела.