Моделирующие приемы. 
Имитационное моделирование

Случаи, когда вместо моделирующих формул используют так называемые моделирующие приемы, которые основаны на свойствах случайных величин, выражающих их связь со стандартными случайными величинами, можно разделить на две группы.

К первой относятся распределения, для которых получить моделирующую формулу по схеме (2.6) невозможно, из-за того что функция распределения F (x) не может быть выражена в элементарных функциях. Примером может служить нормальное распределение с параметрами (т, а2), имеющее функцию плотности.

Как известно, в этом случае функция распределения.

не выражается через элементарные функции1.

Ко второй группе относятся те распределения, для которых получить моделирующую формулу по схеме (2.6) принципиально возможно, но путем очень громоздких выкладок, при этом существует достаточно простая связь со стандартными распределениями или распределениями, для которых могут быть получены простые моделирующие формулы. Пример такого распределения — распределение Эрланга с параметрами (k, X), где k — целое число, k > 1Д > 0, имеющее функцию плотности.

В этом случае функция распределения.

Ф (г) — интеграл вероятностей.

выражается через элементарные функции, но при k > 2 реализация схемы (2.6) приводит к громоздким вычислениям. В то же время распределение Эрланга обладает свойством, которое формулируется следующим образом: сумма k случайных величин имеющих экспоненциальное распределение с параметром Л, имеет распределение Эрланга с параметрами (k, Х)

Это позволяет заменить получение громоздкой моделирующей формулы простым моделирующим приемом, основанным на (2.10) и моделирующей формуле (2.8).

Алгоритмы моделирования распределений первой группы основываются, как правило, на их связи со стандартным нормальным распределением. В частности, для случайной величины ?, имеющей нормальное распределение с параметрами (т, а²), верно соотношение

где — случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение.

Приведем два наиболее популярных алгоритма моделирования одномерного нормального распределения с параметрами (0, 1).

Первый основан на центральной предельной теореме, согласно которой.

[2 «( 1 ^.

случайная величина г = ,/—? L—, где Ъ равномерно распределены.

V п _i=iy 2)

на промежутке [0; 1), имеет приближенно стандартное нормальное распределение. На практике приемлемая точность достигается при п = 12, если экстремальные значения г (|р | > 3) не имеют существенного значения.

Приведем пример реализации этого алгоритма средствами системы MATLAB:

% Моделирование стандартного нормального распределения,.

% моделирующий прием 1 N = 1000;

X = rand (12,N);

X = sum (X) — 6; hist (X, 25).

title (sprintf ('mean (X) = %g, std (X) = %g', round ([mean (X) std (X)]*1еЗ)/1еЗ)).

На рис. 2.10 полученный результат показан в виде гистограммы абсолютных частот и значений основных числовых характеристик. Для сравнения на том же рисунке изображен график функции плотности стандартного нормального распределения.

Второй алгоритм, известный как алгоритм Бокса — Мюллера, позволяет одновременно получать пару значений случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами (0, 1), и основывается на следующем утверждении.

Утверждение 2.1. Пусть оц и а₂ — независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале [0; 1). Тогда случайные величины.

независимы и имеют стандартное нормальное распределение.

Реализовать такой алгоритм средствами системы MATLAB можно следующим образом:

% Моделирование стандартного нормального распределения % алгоритм Бокса — Мюллера N = 500;

X = rand (2,N);

U = 2*pi*X (1:);

V = sqrt (-2*log (X (2:)>);

X = [cos (U).*V, sin (U). *V]; hist (X, 25).

title (sprintf ('mean (X) = %g, std (X) = %g', round ([mean (X) std (X)]*le3)/le3)).

Puc. 2.10. Результат моделирования случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение, с использованием моделирующего приема Результат моделирования случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение, с использованием алгоритма Бокса — Мюллера представлен на рис. 2.11.

Моделирующие формулы и приемы для непрерывных распределений, часто используемых в качестве вероятностных моделей в имитационном моделировании, приведены в табл. 2.2. Более подробную и детальную информацию можно найти в специальной литературе^[1].

Рис. 2.11. Результат моделирования случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение, с использованием алгоритма.

Бокса — Мюллера.

• [1] Вадзинский Р. Н. Справочник по вероятностным распределениям. СПб.: Наука, 2001.