Заключение. 
Исследование уравнения диффузии

Основной целью данной работы было получение решения уравнения диффузии, в котором коэффициент диффузии зависит от времени. Для достижения этой цели был выполнен определенный ряд задач.

Во-первых, было найдено точное уравнение диффузии со случайной зависимостью коэффициента диффузии от времени путем преобразований и наложения ряда условий на общее уравнение диффузии. Также в рамках решения данной задачи был рассмотрен телеграфный процесс и вычислена корреляционная функция.

Во-вторых, для полученного уравнения диффузии было найдено точное решение в квадратурах. Для этого были применены различные методы решения дифференциальных уравнений, рассмотрены модифицированные функции Бесселя и их свойства, а также учтен тот факт, что коэффициент диффузии, зависящий от времени, есть телеграфный случайный процесс.

В-третьих, в данной работе была исследована зависимость среднего квадрата смещения частицы от времени. В результате этого исследования был выявлен эффект аномальной диффузии. Также были построены графики, отражающие данную зависимость.

Таким образом, можно утверждать, что все задачи, поставленные в работе, были решены, и основная цель была достигнута.

Дальнейшее исследование и развитие в данной области может заключаться в попытках адаптации полученного решения для нужд практического применения в различных областях исследовательской и хозяйственной деятельности человека.

Список использованной литературы

• 1. Логвинова К. В. Исследование процессов диффузии в неоднородных средах со случайно проницаемостью. 2005. — 14 с.
• 2. Kozyrev O.R. Diffusion in Random Porous Media / Logvinova K.V., Kozyrev O.R., Stepanyants Y.A., Morozov V.P. // Intern. Conference Topical Problems of Nonlinear Physics. — 2003.
• 3. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том 4, часть 1./ М. Наука.
• 1974. — 389 с.
• 4. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том 2, часть 2. / М. Наука. 1974. — 371 с.
• 5. Kozyrev O. Disordered Structures Models for Heterogeneous Media / Kozyrev O., Logvinova K., Morozov V.// European Journal of Scientific Research, 2011. — p. 464—467
• 6. Logvinova K.V. A fractional equation for anomalous diffusion in a randomly heterogeneous porous media/ Logvinova K.V., Neel M.-Cr.// Chaos. 2004. P. 982 — 987.
• 7. Kozyrev O. Small Scale Models for the Spreading of Matter in Disordered Porous Media/ Kozyrev O., Logvinova K.V.// European Journal of Scientific Research. 2010. — p. 64−78
• 8. Д. К. Белащенко, «Механизмы диффузии в неупорядоченных системах (компьютерное моделирование)», УФН, 1999. — С. 361−384.
• 9. Crank J. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat-conduction type/ Crank J. Nicolson P., Hartree D. R.// Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1996. — p. 50−67
• 10. Gromov E. The Anomalous Diffusion in Stochastically Bent Thin Tubes/ Gromov E., Logvinova K., Morozov V., Tyutin V.//, EuroJournals Publishing, Inc. 2011. — p.170−176.
• 11. С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов, В. И. Татарский Введение в статистическую радиофизику. Часть 2. Случайные поля. Москва, Наука, 1978.
• 12. Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Том 1. 1949.
• 13. Араманович И. Г. Уравнения математической физики/ Араманович И. Г., Левин В.И.// Наука, 1969 — 162 с.
• 14. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения, ГИФМЛ, 1963.
• 15. J. Philibert One and a half century of diffusion: Fick, Einstein, before and beyond. Diffusion Fundamentals, 2005.
• 16. Evans, L.C. Partial Differential Equations. American Mathematical Society. 1998.
• 17. Броуновское движение [Электронный ресурс] // Энциклопедия физики и техники. Режим доступа: http://www.femto.com.ua/articles/part₁/0380.html. — Загл. с экрана.