Метод лингвистической информации

В теории нечетких множеств используется лингвистическая информация, которая помимо того, что является нечеткой, а еще и субъективной по своей природе. Для оценки опасностей функционирующих систем применяются такие термины, как «высокая», «достаточно высокая», которые представляют собой лингвистические значения. Эти значения являются нечеткими и их нельзя определить точным числом.

Однако, несмотря на нечеткость, они несут с собой информацию. Например, такие оценки, как «тяжелая работа», «большие тяжести», «высокая плата за коммунальные услуги» и пр. Каждый может понять значение таких оценок. Эти оценки могут быть использованы для описания источников опасности. Естественно, что анализируемые условия должны содержать некоторую информацию, а ее отсутствие приведет к нечетким результатам, что не позволит сделать необходимое заключение.

Язык выработал лингвистические значения, которые используются для передачи человеком количественных атрибутов естественным образом. При словесном анализе в общем случае необходимо иметь модель используемых слов, систему правил, соединяющую слова в единое выражение, и обратную функцию, которая находит соответствующий лингвистический ярлык в сложном выражении и расшифровывает его, т. е. осуществляет процесс лингвистической аппроксимации. В теории множеств элемент или принадлежит множеству или нет. Это выражается функцией принадлежности р (х). которая равна нулю, если х не принадлежит множеству и равна I, если х принадлежит. Однако во многих случаях и особенно в контексте с лингвистической информацией множество не определяется однозначным образом. Такое неопределенное множество, кроме принадлежности им не принадлежности к ней элемента, имеет еще нечеткую область, в которой степень принадлежности может изменяться непрерывным образом между этими границами, следовательно, функция р (х) может принимать значения в интервале [0,1].

Пусть имеется X — универсальное множество, счетное или нет, ад: — элемент X. Тогда нечетким подмножеством А в X является объект.

где ц, Дд:) — характеристическая функция принадлежности, принимающая значение в упорядоченном множестве «Л/» и указывающая степень принадлежности элемента к множеству X. Выражение (5.1) можно представить в виде:

Нечеткое множество «Л» является выпуклым, если выдерживается соотношение /x, y, ze N / х< у i_A(y)^i_A{x)^i_A(z) нормализованными, если содержат по крайней мере один элемент х такой, что sup p_e(x) = 1. Выпуклое и нормализованное нечеткое множество называют нечетким числом. Рассмотрим нормализованные нечеткие множества, представленные интервалом на действительной оси R при множестве принадлежностей М = [0,1]. Например, функция принадлежности, описывающая оптимальный возраст работника (в любой сфере) будет иметь вид (см. рис. 16):

Здесь работники от 18 до 42 лет будут принадлежать к понятию «оптимальный возраст работника» при уровне, равном I. Принадлежность работника в 52 года оценивается уровнем 0,5; а старше 65 лет — уровнем 0.

Основные операции над нечеткими множествами следующие: Пусть X — универсальное множество, М — множество принадлежностей; А и В — два нечетких множества X. А содержится в В (Acz В), если /хе X; р^(х)<�р_в(х). Множества, А и В равны (А = В) только тогда, когда Пересечение определяют как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В (рис. 17).

Рис. 16. Функция принадлежности, описывающая возраст работника.

Рис. /7. Объединение нечетких множеств, А и В.

Множества А и В (А = В) дополняют друг друга, если Vxe X :

Пересечение: Ухе X: ЦлпвМ^=т‘^п(>Мх)-^я (*)) — Функция принадлежности может задаваться дискретно, пример:

Пусть X ={х,…х₅}, М = [0,1];

А = {(0,2/д*.), (0,7/х₂). (1/х.0,(0/.т₄),(0,5/х₅)},.

В = U0.5/X,), (0,3/х,), (I/х₃),(0,1/х₄),(0,5/х₅)},.

Тогда АГВ — {(0,2/х,), (0,3/лг₂), (I/.v,),(0/x₄),(0,5/a*₅)}. Объединение (рис. 17) определяют как наибольшее нечеткое подмножество, которое содержит как А, так и В. Ухе X .

Рассмотрим нечеткие графы и отношения. Пусть Xи У— множества с элементами хе X > уеУ . Конкретно примем X = {х_и х₂, х₃}, Т = {УнУЛ- Множество упорядоченных пар х, у образуют декартово произведение X х У = {(*, у)). В конкретном случае декартово произведение X хУ = {(x, j',), (х_х>у_г), (х₂,>>,), (х_?, у₂), (хцу,), (x_}iy₂)).

Если для каждой упорядоченной пары (д, у) X х У определена функция принадлежности Рс (х, у), ^то тог^^а определено нечеткое множество G ⁼{i_G(x, y)/ XY)}, которое называется нечетким графом. Например, нечеткий граф G = {(0,3/(х, у,)), (0,7/(х, у₂))* (1/ (ОД))' (0/(x_2ty₂))_y (0,5/(од)), (0,2/(х₃, у₃))} можно представить в виде матрицы (табл. 20), где стрелка указывает порядок образования упорядоченной пары, так как в общем случае (дс,^) * (х_уу). Если в декартовом произведении X х У множества X и У совпадают X = К, то можно говорить об отношении между элементами множества X. При X хХ — X¹ отношения называют бинарными.

Таблица 26

Представление нечеткого графа.

Что представляют нечеткие бинарные отношения? Пусть х, у ^е X. То, что между элементами х, у существует отношение Q (запись этого — X Q У). Предположим, что множества X составляют уровни звукового шума (давления) в ДБ: X = {40, 50, 80, 100}. В этом множестве нечеткое отношение Q. «х >> у», т. е. уровень шума х значительно превышает уровень шума у. Функция принадлежности Мх>(х, у). зависящая от субъективного оценивания представлена в табл. 27.

Таким образом, имеем нечеткий граф G отношения Q:

G= {(0/(40,40)), (0/(40,50)), (0/(40.80)), (0/(40,100)), (0/(50,40)), (0/(50,50)), (0/(50,8)), (0/(50,100)), (0,8/(80,40)), (0,6/(80,50)), (0/ (80,80)), (0/(80,10)), (1,0/(100,40)), (0,9/(100.50)). (0,3/(100,80)). (0/ (100,100))}.

Таблица 27

Функция принадлежности.

Над нечеткими множествами (отношениями) можно проводить минимаксные операции, например, минимаксная композиция. Этот вопрос мы не рассматриваем.