Опционные контракты на несколько видов базовых активов

Рассмотрим условный рынок, представленный тремя активами. Первые два актива — рисковые, при этом их цены, S_{ и S₂ соответственно, отвечают случайным процессам, заданным как решения следующих стохастических дифференциальных уравнений:

где a_{(t, со), a₂(t, со) — случайные функции времени; с₂ — постоянные коэффициенты волатильности; W_x(t), W₂(t) — стандартные винеровские процессы, имеющие коэффициент корреляции р. Третий актив является безрисковым с ценой B (t), определенной соотношением.

где г > 0 — мгновенная процентная ставка, определяющая доходность безрискового вложения.

Напомним стандартный подход в определении стоимости платежного обязательства вида х = ср (5'₁(7^, S₂(T)), гарантирующего его держателю определенную выплату на момент времени Т исходя из заранее оговоренной платежной функции (р. Предположим, что цена такого финансового инструмента на момент времени t е [0; 7] определяется как некоторая функция F , 5,(7), 5₂(Т)), где 7*': М₊х R² —> К. Воспользуемся формулой Ито для вывода уравнения, задающего динамику /•'(/) = F (t, 5,(7), 5₂(7)):

dF (t) = a_F(t, u>)F (t)dt + a_n(t, U))F (t)dW_{(t) + o_F2(t, u>)F (t)dW₂(t), (4.55).

где.

Далее сформируем самофинансируемый портфель стоимостью V, состоящий из указанных рисковых активов, безрискового актива и определенной доли рассматриваемого платежного обязательства. Относительные веса указанных активов в портфеле будем обозначать как u_v и₂, и_в и u_F, при этом и_х + и₂ + и_в + u_F = 1. Условие самофинансируемости обеспечивается выполнением следующего тождества:

Подставляя в тождество (4.56) правые части уравнений (4.52), (4.53), (4.55) и группируя слагаемые при одинаковых дифференциалах, получим

Будем выбирать веса таким образом, чтобы рассматриваемый портфель на каждый момент времени t был безрисковым, т. е. выполнялись условия w, a, + UpOpi = 0 и и₂а₂ + и_ь<3р2 = 0, и имел доходность выше рыночной г на величину 8 > 0, что соответствует справедливости соотношений.

Однако в рамках рассматриваемой модели нас интересует цена платежного обязательства %, не допускающая появления арбитража на рынке. Следовательно, полученная система уравнений не должна иметь решений, и, соответственно, ее матрица коэффициентов должна быть вырожденной, что обеспечивается выполнением условий.

для некоторых вещественных чисел X_t, Х₂. Подставляя в формулу (4.59) значения Х₂ из соотношений (4.57), (4.58), а также выражения для a_F,.

a Pi, Gp2, относящиеся к уравнению (4.55), приходим к уравнению в частных производных с дополнительным условием относительно функции F (t, 5*₂):

Дополнительное условие в соотношении (4.60) задано таким образом, чтобы выполнялось равенство.

обеспечивающее требуемую выплату на момент времени Т.