Оценивание параметров и проверка гипотез с позиции теории принятия решений

Рассмотрим задачу точечной оценки скалярного параметра 0. Выбор статистики 0 для оценки 0 можно трактовать как решающее правило, предписывающее принять решение d о том, что оцениваемое значение параметра равно g (x) — 0(ж), если наблюдается х = (ж, х₂ х"). В этом случае функция потерь может быть, например, равна L (0,g) = /(|0−0|), где У (| 0 — 01) — строго возрастающая функция ошибки 10—01. Если, в частности, выбрать /(Z) = Z², то функция риска равна R (Q, g) = M (Q (x)-Q |), т. е. совпадает со среднеквадратической ошибкой оценки 0(х). Таким образом, нахождение оптимальной оценки (минимизирующей эту функцию риска) эквивалентно нахождению оптимального решающего правила.

Рассмотрим теперь интерпретацию задачи проверки гипотез в терминах теории принятия решений. Предположим, что требуется проверить гипотезу Я₀: 0 е 0_О при альтернативе Я: 0 е 0, = 0 0_О. Тогда любой критерий можно интерпретировать как решающее правило с двумя решениями: d₀ (принять Я₀), г/, (принять Hi). Здесь естественно считать, что потеря равна нулю, если принять правильное решение. Тогда функция потерь должна удовлетворять условиям L (0, d₀) = 0 для V 0 е 0_О, L (0, d) = 0 для V 0 е 0,. Если дополнительно принять, что потери от неправильного решения в любом случае равны единице, т. е. L (0, d_Q) = 1 для V 0 е 0, 1(0, d_{) = 1 для V 0 € 0_О, то при такой простой функции потерь для любого решающего правила g функция риска имеет вид.

Таким образом, значения функции риска совпадают в данном случае с вероятностями ошибок первого и второго рода.