Математическая модель метода electre III

Метод ELECTRE III является развитием метода ELECTRE II и предоставляет возможность более точного ранжирования альтернатив, которая достигается благодаря использованию псевдо-критериев, позволяющих учитывать неструктурированные данные.

Концепция псевдо-критериев основывается на том, что оценки альтернатив не обладают абсолютной точностью, что обеспечивает возможность различной трактовки разницы между оценками альтернатив. Для учета этого факта при определении отношения предпочтения S используются границы безразличия и предпочтения, которые позволяют учитывать степень превосходства одной альтернативы над другой по каждому критерию.

Для каждого критерия K_n вводится определяемая экспертно граница безразличия — q_n, обозначающая несущественную с точки зрения ЛПР разницу между оценками двух альтернатив по этому критерию, которая позволяет сделать вывод о равнозначности сравниваемых альтернатив по данному критерию.

Для каждого критерия K_n вводится определяемая экспертно граница предпочтения — p_n, обозначающая существенную с точки зрения ЛПР разницу между оценками двух альтернатив по этому критерию, которая позволяет сделать вывод о строгом превосходстве одной альтернативы над другой по данному критерию.

Поскольку граница предпочтения обозначает существенную с точки зрения ЛПР разницу между оценками альтернатив, а граница безразличия — несущественную разницу, граница предпочтения должна быть всегда больше границы безразличия:

p_n > q_n, n=1,N. (16).

Ранжирование альтернатив методом ELECTRE III основано на последовательном сравнении каждой пары альтернатив. В рамках этого сравнения для каждой пары альтернатив по каждому критерию K_n вычисляется индекс согласия SO_n(V_i, V_k) по следующей формуле:

Для критериев с направлением максимизация:

1, если (F_in — F_kn)? p_n

SO_n(V_i, V_k) = (F_in — F_kn) / p_n, если q_n < (F_in — F_kn)< p_n (17).

0, если (F_in — F_kn)? q_n

Для критериев с направлением минимизация:

1, если (F_kn — F_in)? p_n

SO_n(V_i, V_k) = (F_kn — F_in) / p_n, если q_n <(F_kn — F_in)< p_n (18).

0, если (F_kn — F_in)? q_n

Таким образом,.

0? SO_n(V_i, V_k)? 1. (19).

В (17) — (19) i=1,L, k=1,L, n=1,N.

Если SO_n(V_i, V_k) = 1, то альтернатива V_i строго лучше альтернативы V_k по критерию K_n. Если, то присутствует нестрогое предпочтение альтернативы V_i альтернативе V_k по критерию K_n. Если SO_n(V_i, V_k) = 0, то нет оснований полагать, что альтернатива V_i лучше альтернативы V_k по критерию K_n. Соответственно, чем выше значение индекса согласия SO_n(V_i, V_k), тем альтернатива V_i лучше альтернативы V_k по критерию K_n.

После вычисления индексов согласия для каждой пары альтернатив по каждому критерию вычисляется индекс несогласия, отражающий, насколько одна альтернатива хуже другой по рассматриваемому критерию. При сравнении альтернатив V_i и V_k индекс несогласия по критерию K_n обозначается NE_n(V_i, V_k) и вычисляется по следующей формуле:

Для критериев с направлением максимизация:

0, если (F_kn — F_in)? q_n

NE_n(V_i, V_k) = (F_kn — F_in) / v_n, если q_n < (F_kn — F_in) < v_n (20).

1, если (F_kn — F_in)? v_n

Для критериев с направлением минимизация:

0, если (F_in — F_kn)? q_n

NE_n(V_i, V_k) = (F_in — F_kn) / v_n, если q_n < (F_in — F_kn) < v_n (21).

1, если (F_in — F_kn)? v_n

Таким образом,.

0? NE_n(V_i, V_k)? 1. (22).

В (20) — (22) i=1,L, k=1,L, n=1,N.

Если NE_n(V_i, V_k) = 0, то нет оснований полагать, что альтернатива V_i хуже альтернативы V_k по критерию K_n. Если, то существуют основания полагать, что альтернатива V_i хуже альтернативы V_k по критерию K_n. Если NE_n(V_i, V_k) = 1, то критерий K_n накладывает вето на утверждение, что альтернатива V_i лучше чем V_k. Соответственно, чем выше значение индекса несогласия NE_n(V_i, V_k), тем альтернатива V_i хуже чем V_k по критерию K_n.

Для оценки превосходства одной альтернативы над другой по всем критериям вводится общий индекс согласия C (V_i, V_k), который рассчитывается как сумма произведений веса каждого критерия P_n, на индекс согласия по данному критерию SO_n(V_i, V_k), где n — номер соответствующего критерия.

C (V_i, V_k) = (23).

0? C (V_i, V_k)? 1 (24).

В (23) — (24) i=1,L, k=1,L.

Если C (V_i, V_k) = 1, то альтернатива V_i строго предпочитается альтернативе V_k по всем критериям, а если C (V_i, V_k) = 0, то нет оснований полагать, что альтернатива V_i лучше альтернативы V_k. Соответственно, чем выше значение общего индекса согласия C (V_i, V_k) тем альтернатива V_i предпочтительнее альтернативы V_k.

Для оценки того, насколько одна альтернатива хуже другой по всем критериям, вводится общее отношение нон-несогласия ND (V_i, V_k):

ND (V_i, V_k) = (25).

0? ND (V_i, V_k) < +? (26).

В (25) — (26) i=1,L, k=1,L.

Если ND (V_i, V_k) = 0, то как минимум один критерий накладывает вето на утверждение что альтернатива V_i лучше чем V_k. Если отношение нон-несогласия стремится к +?, то по всем критериям SO_n(V_i, V_k) = 1 (т.е. по всем критериям альтернатива V_i строго лучше альтернативы V_k). Соответственно, чем меньше значение общего отношения нон-несогласия ND (V_i, V_k), тем альтернатива V_i хуже альтернативы V_k.

Для определения наличия отношения предпочтения между двумя альтернативами в методе ELECTRE III требуется одновременно учесть отношение согласия и отношение нон-несогласия, что осуществляется путем введения новой переменной — общего отношения предпочтения PR, вычисляемой путем перемножения общего индекса согласия и отношения нон-несогласия по соответствующей паре альтернатив:

PR (V_i, V_k) = ND (V_i, V_k)* C (V_i, V_k), i=1,L, k=1,L. (27).

0? PR (V_i, V_k) < +?, i=1,L, k=1,L. (28).

PR (V_i, V_k) = 0 в том случае, если как минимум 1 критерий накладывает вето на утверждение что альтернатива V_i предпочтительнее альтернативы V_k (ND (V_i, V_k) = 0) и/или нет оснований полагать, что альтернатива V_i лучше альтернативы V_k ни по одному из критериев (C (V_i, V_k) = 0).

Для определения отношения предпочтения между двумя альтернативами вводится задаваемая экспертно граница отношения предпочтения л, определяющая минимально достаточное с точки зрения ЛПР значение общего отношения предпочтения.

Согласно методу ELECTRE III, альтернатива V_i считается «не хуже чем» V_k, если значение PR (V_i, V_k) не меньше границы отношения предпочтения л. Граница отношения предпочтения определяется ЛПР и может быть как константой, так и функцией от некоторой переменной. Чем выше граница отношения предпочтения, тем выше «строгость» ранжирования альтернатив.

Процедура ранжирования альтернатив (присвоение альтернативам рангов) в методе ELECTRE III производится с использованием порядка, описанного в 2.1 для метода ELECTRE II.