Статически неопределимые системы при изгибе

Рассмотрим системы, элементы которых работают на изгиб; к таким системам относятся многоопорные балки и рамы. Па рис. 17.8 приведена балка, степень статической неопределимости которой равна двум (для преобразования данной системы в статически определимую необходимо и достаточно снять две связи, например, две средние опоры).

Рис. 17.8. Многоопорная балка

Степень статической неопределимости можно также вычислить как разность между числом наложенных связей и числом уравнений статики. В данном примере шарнирная опора накладывает на балку две связи и три катка — по одной связи, т. е. всего пять связей. Число независимых уравнений статики для тела, находящегося под действием плоской системы сил равно трем. Следовательно, две связи лишние, т. е. степень статической неопределимости равна двум.

Общий метод расчета статически неопределимых систем состоит в следующем: лишние связи снимают, заменяют их неизвестными силами; затем определяют перемещения в направлении отброшенных связей и приравнивают их к нулю. В результате получают уравнения перемещений, количество которых равно числу лишних связей.

Систему с отброшенными лишними связями и приложенными неизвестными силами называют эквивалентной статически определимой системой. На рис. 17.8, б изображена эквивалентная статически определимая система для балки, представленной на рис. 17.8, а.

Для вычисления перемещений в направлении отброшенных связей можно использовать любой метод, однако наиболее удобен метод Мора в сочетании с правилом Верещагина. Каждое из перемещений представляют в виде суммы перемещений от заданной нагрузки и каждой из неизвестных сил; эту сумму приравнивают нулю. Так, например, для балки, изображенной на рис. 17.8

Перемещения от неизвестных сил Х_{ и Х₂ можно представить в виде произведений перемещений от единичных нагрузок, соответствующих неизвестным силам, на величину сил.

Подставив эти значения в уравнение (17.14), получим уравнения перемещений в канонической форме (канонические уравнения перемещений).

Отметим, что согласно принципу взаимности перемещений 6₁₂ = 8₂₁.

Определив из уравнений (17.15) X_t и X_v вычисляют изгибающие моменты; находят максимальные напряжения и перемещения и, сопоставив их с допускаемыми, судят о прочности и жесткости.

Рассмотрим балку на трех опорах (рис. 17.9). Степень статической неопределимости данной балки равна единице, для преобразования данной системы в статически определимую надо снять одну связь. Устранив опору С получим статически определимую балку (см. рис. 17.9, б).

Рис. 17.9. Балка на трех опорах.

Перемещение точки С согласно принципу независимости действия сил можно представить в виде суммы перемещений от заданной нагрузки и от реактивной силы.

Перемещение точки С от реактивной силы можно представить в виде произведения перемещения от единичной нагрузки на величину этой силы 5_1Х 5] тогда.

Уравнение (17.16) называют каноническим уравнением метода сил. Найдем коэффициенты уравнения (17.16), используя эпюры моментов от заданных сил (М'_<�Л, см. рис. 17.19, д) и от единичной силы (М_<�и, см. рис. 17.19, ж).

Подставив найденные коэффициенты в каноническое уравнение (17.16), получим.

Силы реакций определяют суммированием сил реакций, найденных для схем рис. 17.9, г и рис. 17.9, е, предварительно умножив силы реакций от единичной силы на величину X_v Эпюру изгибающих моментов для статически неопределимой балки (см. рис. 17.9, а) получают суммированием эпюры (см. рис. 17.9, д) и эпюры (см. рис. 17.9, ж), предварительно умноженной на Х_г Суммарная эпюра моментов представлена на рис. 17.9, з.

Пример: расчет напряжений в системе микросхема — плата. Корпус микросхемы весом G = 4 • 10 ² Н (рис. 17.10) прикреплен к плате с помощью десяти планарных выводов. Длина каждого вывода / = 4 мм, поперечное сечение bh = 0,8 0,2 мм. Определить напряжения в выводах, возникающие при движении платы вниз с ускорением а = 150g.

Рис. 17.10. Закрепленная микросхема к плате с помощью десяти планарных выводов

Данная задача относится к типу так называемых квазистатических, т. е. таких, которые можно рассматривать как статические, если к реально действующим силам добавить фиктивные силы инерции, определяемые по принципу Даламбера. Сила инерции равна произведению массы на ускорение и направлена в сторону, обратную ускорению. Считая массу самих выводов пренебрежимо малой и прилагая к корпусу силу инерции, равную Ga

Р= — = 150G = 6 Н, получим расчетную схему (см. рис. 17.10, б).

ё

Для получения эквивалентной статически определимой системы отбросим одну заделку (правую) и приложим вместо нее силу R и момент X, (см. рис. 17.10, в). В этом случае горизонтальной реакцией можно пренебречь, так как при малых перемещениях длина выводов практически не меняется. Величину силы R, одинаковую для всех выводов, находят из условия равновесия YjY= 0; Р — 10R = 0; R = ОДР.

Степень статической неопределимости балки в схеме равна единице и каноническое уравнение перемещений примет вид 8_1Р + 8₁₁Х₁ = 0. Смысл этого уравнения заключается в том, что угловое перемещение в заделке равно нулю.

Для определения коэффициентов уравнения применим правило Верещагина. Построим эпюры моментов от силы R и от единичного момента, соответствующего моменту Х_] (рис. 17.10, г, д). Умножив площадь первой эпюры на ординату второй эпюры, взятую под центром тяжести площади, затем умножив площадь второй эпюры на ординату этой же эпюры, найдем величины коэффициентов 8 (см. первую и вторую строки системы 8_1Р, 8_И), подставив которые в каноническое уравнение, получим искомое значение для неизвестной Х_{

Суммарная эпюра моментов от силы R и момента Х_{ показана на рис. 17.10, е. Максимальный момент возникает в сечении у заделки и равен.

момент сопротивления изгибу.

максимальное напряжение