Оценка ошибки приближенного решения

Непосредственно вычислить вектор ошибки е = х — х* мы не можем, так как точное решение нам не известно. Мы можем, по крайней мере с машинной точностью, вычислить вектор невязки г = Ах — f, который обращается в нулевой вектор, когда е = о. Однако малая величина вектора невязки не гарантирует, что вектор ошибки также мал. Проанализируем взаимосвязь между е и г более подробно. Заметим, что г = Ах — Ах* = А (х — х*) = Ае, т. е. е = А^-1 г. Тогда отношение ||e||/||f|| примет вид.

Учитывая, что ||Ах*|| < || А|| • ||х*||, мы можем заменить знаменатель в левой части неравенства и, умножая на ||А||, получим оценку.

Это неравенство показывает, что относительная ошибка мала, когда относительная величина вектора невязки мала и число обусловленности не слишком велико.

Заключительные замечания

Начиная с середины 1950;х гг. был достигнут значительный прогресс в области вычислительной линейной алгебры. Это подтверждается наличием эффективного и надежного программного обеспечения, реализующего различные прямые методы для решения систем линейных уравнений. Это обеспечение доступно или в виде библиотеки подпрограмм (IMSL®, NAG®, LAPACK), или как встроенные функции системы программирования (например, MATLAB®). Эти программы реализуют различные формы разложения, которые мы обсуждали, для различных типов матриц, таких как общие, ленточные, симметричные, разреженные и SPD матрицы. На практике накопление ошибок округления может приводить к значительному искажению вычисленного решения. Поэтому все алгоритмы в пакетах программ включают в себя специальные меры (такие, как выбор ведущего элемента и балансировка матриц) для того, чтобы уменьшить влияние этого эффекта. В стандартном программном обеспечении также обеспечивается оценка числа обусловленности, что дает возможность оценить ошибку вычисленного решения. В дополнение, библиотеки подпрограмм включают в себя пакет BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms, основные подпрограммы линейной алгебры). Этот пакет реализует различные операции над векторами и матрицами, и он широко используется при создании прикладного программного обеспечения для научных и инженерных вычислений.