В этом параграфе мы обсудим применение рассмотренных выше квадратурных формул к вычислению несобственных интегралов.
Бесконечные пределы интегрирования
Как было рассмотрено в параграфе 6.3, формулы Гаусса — Кристоффеля могут быть использованы для вычисления интегралов с весовыми функциями ехр (-аг) и ехр (-х2) на интервалах [0, со) и (-°°, °°) соответственно. Мы всегда можем ввести эти весовые функции искусственным образом, сделав простое преобразование:
ИЛИ.
Теперь применим формулу (6.14) и получим следующие выражения:
или.
Значения модифицированных весов а4^ехр (2иР) и «^/)exp ((z»/))2) представлены в табл. А10 и All Приложения, А Другой способ обращения с бесконечным интервалом интегрирования — преобразование его в конечный интервал. Замены переменных у = х/( 1 + х) или у = ехр (-х) преобразуют интервал [0, °°) в интервал [0, 11. Аналогично, замена переменной у = (ехр (д) — 1)/(ехр (х) + 1) преобразует интервал (-°°, °°) в интервал [-1,1]. Если преобразованная подинтегральная функция непрерывна и ограничена, то мы получаем стандартную проблему интегрирования. В противном случае мы сталкиваемся с проблемой интегрирования функции имеющей особенность.
Пример 6.4 (преобразование полубесконечного интервала интегрирования) Рассмотрим следующий интеграл:
Используя преобразование у = х/(1 + х), получим.
Вычисление этого интеграла уже не составляет особого труда.
