Простейший пример конечно-разностной схемы

В качестве вводного примера рассмотрим построение вычислительной схемы для решения уравнения

Первым шагом мы введем некоторое множество точек (узлов) на интервале [0, /]: 0 = х₀ < Х < … < x_N= /. Это простейший пример вычислительной сетки, и расстояние между двумя соседними узлами h_n = х_п+_х — х_п называется шагом сетки. В дальнейшем мы будем рассматривать более простой случай равномерной сетки, когда h_n = h = const. Приближенное решение уравнения (7.1) определяется в узлах сетки, т. е. оно представляет собой множество значений

Такое множество часто называют сеточной функцией. Теперь нам нужно заменить производную некоторым разностным отношением, определенным на сетке. Простейший способ такой замены основан на определении производной:

где х выбирается достаточно малым. Применяя это приближение, мы получим, вместо дифференциального уравнения (7.1), разностное уравнение в каждом узле сетки (х —? х_п, Ах —? h).

Набор разностных уравнений, определенных на некоторой сетке, называется конечно-разностной схемой (или просто разностной схемой).

Для того чтобы вычислить приближенное решение, мы перепишем разностную схему (7.2) в форме рекуррентного соотношения.

Начиная с щ* = 1, для последовательных значений п = = 0, …, ДГ — 1 мы найдем приближенное решение во всех узлах сетки. Вообще говоря, можно построить бесконечное количество разностных схем для данного дифференциального уравнения. Например, можно записать следующие разностные схемы для уравнения (7.1):

с рекуррентным соотношением.

или.

с рекуррентным соотношением.

Естественно, что все эти схемы имеют разные свойства. Эти различия показаны на рис. 7.1, который представляет результаты вычислений для разностных схем (7.2), (7.3) и (7.4), вместе с точным решением уравнения (7.1).

Этот пример демонстрирует, что построение разностных схем и решение дифференциальных уравнений с помощью этих схем не совсем простая задача. Часто возникают ситуации когда, казалось бы, схема должна давать достоверный результат, а мы получаем приближенное решение, которое не имеет ничего общего с точным решением. Поэтому, прежде чем рассматривать методы построения разностных схем, мы должны познакомиться с требованиями, выполнение которых обязательно для любой практически пригодной схемы.