Метод последовательных приближений

Запишем для неоднородного уравнения Фредгольма (9.1) итерационный процесс:

Можно показать, что при ограниченном ядре и достаточно малом значении |р| этот процесс сходится к решению уравнения (9.1).

Доказательство. Обозначим погрешность к-и итерации через е^к(х) = u^(kx) — и (х). Вычитая (9.1) из (9.10) получим.

Отсюда следует неравенство.

Тем самым, если выполнено условие.

итерации (9.10) сходятся равномерно позг, причем сходимость линейная. При достаточно малом р это условие выполняется.

В практических вычислениях квадратуры, возникающие в этом методе, редко удается выразить через элементарные функции. Поэтому обычно ограничиваются нахождением первых приближений. Если применить эту идею к системе (9.6), то мы получим метод простой итерации.

и достаточное условие сходимости примет вид |р|-||С|| < 1.

Для уравнения Вольтерра (9.2) метод последовательных приближений сходится равномерно под: при любых значениях р. Действительно, в этом случае вместо (9.11) справедливо соотношение

Далее следует оценка.

При п —*• правая часть этого неравенства стремится к нулю.

при любых значениях р, что доказывает утверждение.

Метод Галёркина

Будем искать приближенное решение в виде разложения по полной системе функций cp_w(x):

поскольку от v (x) не надо специально требовать удовлетворения каким-либо краевым условиям, то от системы ср"(д:) ничего не требуется, кроме полноты. Определим невязку.

Требование ортогональности невязки г (х) ко всем функциям (рХ^т).

приводит к системе линейных уравнений для нахождения коэффициентов а_п

где.

Основной трудностью, препятствующей применению метода Галёркина, является сложность вычисления двукратных интегралов, входящих в (9.12). Поэтому обычно ограничиваются малым числом членов суммы.