Вычисление критерия ф* — углового преобразования Фишера (критерия Фишера)

Основным методом оценки статистической значимости различий в таблицах типа «два-на-два» до сих пор является тест Фишера (1935).

Исторический экскурс

Рональд Эйлмер Фишер (Ronald Aylmer Fisher) (1890—1962) — английский статистик, биолог-эволюционист и генетик, один из основателей математической статистики и математической популяционной генетики. Датский статистик Андерс Халд {Anders Hald) охарактеризовал его как «гения, едва не в одиночку заложившего основы современной статистики», британский эволюционист Ричард Доукинс (Richard Dawkins) называл его «величайшим из преемников Дарвина». Фишер ввел понятие достаточной статистики, построил теорию точечных и интервальных статистических оценок, разработал методику планирования экспериментов и внес существенный вклад в создание современной теории статистической проверки гипотез (источник: http://www.peoples.ru/science/mathematics/ronald_aylmer_fisher).

Это многофункциональный статистический критерий, предназначенный для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект.

Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла ср, который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол (р, а меньшей доле — меньший угол, но соотношения здесь нелинейные:

где Р — процентная доля, выраженная в долях единицы (рис. 7.2).

При увеличении расхождения между углами q>! и ср₂ и увеличения численности выборок значение критерия возрастает. Чем больше величина ср*, тем более вероятно, что различия достоверны.

Достоинством данного критерия является то, что данные могут быть представлены в любой шкале, даже номинативной.

Рис. 7.2. График зависимости угла <�р от процентной доли Суть многофункциональных критериев состоит в определении того, какая доля наблюдений (реакций, выборов, испытуемых) в данной выборке характеризуется интересующим исследователя эффектом и какая доля этим эффектом не характеризуется.

Таким эффектом может быть:

• а) определенное значение качественно определяемого признака — например, выражение согласия с каким-либо предложением; выбор правой дорожки из двух симметричных дорожек; отнесенность к определенному полу; присутствие фигуры отца в раннем воспоминании и др.;
• б) определенный уровень количественно измеряемого признака, например получение оценки, превосходящей проходной балл; решение задачи менее чем за 20 с; факт работы в команде, по численности превышающей четырех человек; выбор дистанции в разговоре, превышающей 50 см, и др.;
• в) определенное соотношение значений или уровней исследуемого признака, например более частый выбор альтернатив, А и Б по сравнению с альтернативами В и Г; преимущественное проявление крайних значений признака, как самых высоких, так и самых низких; преобладание положительных сдвигов над отрицательными и др.

Итак, путем сведения любых данных к альтернативной шкале «есть эффект — нет эффекта» многофункциональные критерии позволяют решать все три задачи сопоставлений — сравнения уровней, оценки сдвигов и сравнения распределений.

Критерий (р* применяется в тех случаях, когда обследованы две выборки испытуемых.

Пример 7.5.

Рассмотрим различия в реагировании на вербальную агрессию между сотрудниками патрульно-постовой службы и обычными гражданами.

Экспериментатор в дневное время поджидал на достаточно многолюдной остановке вблизи от полицейского общежития появления мужчины в возрасте 25—35 лет и, установив с ним контакт глаз, обращался к нему с агрессивной формулой: «Ну, чего уставился?! Чего надо?!» Реакция испытуемого наблюдалась и запоминалась экспериментатором. После этого испытуемому приносились извинения и предъявлялась справка о том, что ее предъявитель является исполнителем научного эксперимента, но исследованию стилей реагирования на агрессию. Кроме того, экспериментатор выяснял, является ли испытуемый сотрудником патрульно-постовой службы или обычным гражданином.

Таким образом, была собрана выборка из 25 полицейских, которые в данный момент были не в форме и не на посту, т.с. были такими же участниками гражданской жизни, как и другие граждане, и выборка из 25 граждан, не являвшихся полицейскими.

Из 25 полицейских 10 не продолжили разговора с агрессором, а 15 продолжили его, обратившись к нему с ответной фразой. Из этих 15 реакций 10 были неагрессивными и примирительными, например «Так просто… Закурить не найдется?», или «Сколько времени, не скажешь?», или дружески: «Ух ты какой!», или мягко: «А чего ты тут стоишь?», 5 реакций были агрессивными, например «Что?! А ну, повтори!», или «Ты что-то вякнул или мне послышалось?», или «Я тебе сейчас уставлюсь. Ну-ка, иди сюда!».

Из 25 гражданских лиц 18 предпочли не вступать в разговор, 3 человека продолжили контакт, обратившись к экспериментатору с неагрессивной, примирительной фразой вроде «Ничего, просто смотрю» или «А может быть, вы мне понравились». Оставшиеся 4 человека продолжили контакт, дав агрессивный ответ, например «А ты что, резкий, что ли?» и т. п.

Можно ли утверждать, что сотрудники патрульно-постовой службы в большей степени склонны продолжать разговор с агрессором, чем другие граждане?

В данном случае легко определить, что будет критерием для разделения испытуемых на тех, у кого «есть эффект», и тех, у кого «нет эффекта».

Признак принимает всего два значения: разговор продолжен — разговор не продолжен. Ориентируясь на вопрос задачи, будем считать, что «эффект есть», если разговор продолжен, и что «эффекта нет», если разговор не продолжен.

Создадим чстырсхклсточную таблицу (табл. 7.12).

Четырехклеточная таблица для сопоставления полицейских (п_{ = 25) и гражданских лиц (п₂ = 25) но показателю продолжения разговора с агрессором.

Таблица 7.12

Сформул ируем гипотезы:

Я₍₎: доля лиц, продолживших разговор с агрессором, в группе полицейских не больше, чем в группе гражданских лиц;

Н_х: доля лиц, продолживших разговор с агрессором, в группе полицейских больше, чем в группе гражданских лиц.

Определим значения угла (р для каждой из сопоставляемых процентных долей, для этого используем таблицы величины угла (р (в радианах) для разных процентных долей (см. приложение, табл. П.9): Фцбо%>⁼ 1*772; <�р2(28%)⁼ 1*116.

Рассчитаем эмпирическое значение ф^[1][2]:

где ф, — угол, соответствующий большей процентной доле; ф₂ — угол, соответствующий меньшей процентной доле; п_х — количество наблюдений в выборке 1; п₂ — количество наблюдений в выборке 2.

В данном случае имеем.

Интерпретация данного критерия предполагает, что:

• • если ф^[2]_мпир <�Фк_рит" то принимается гипотеза Я₀;
• • если ф^[2]_М1шр > Ф^[2]_рит, то принимается гипотеза Н_х.

Используя табл. П. 11 приложения, получаем, что.

Следовательно, с вероятностью 0,999 <�р*_МП1ф >ф*_рнт.

Для наглядности можно построить ось значимости (рис. 7.3).

Рис. 73. Ось значимости для задачи про полицейских и гражданских.

Значит, гипотеза Н₀ отвергается, принимается гипотеза Н_{. Доля лиц, продолживших разговор с агрессором, в группе полицейских больше, чем в группе гражданских лиц (р < 0,01).

• [1] Условия использования критерия ф2 — углового преобразования Фишераследующие. 1. Процентные доли должны отражать вероятность появления событияв одной выборке, т. е. в сумме составлять 100%. 2. Ни одна из сопоставляемых долей не должна быть равной нулю. 3. Нижний предел — два наблюдения в одной из выборок. При этомнеобходимо, чтобы выборки удовлетворяли следующим условиям: • если в одной выборке ровно два наблюдения, то в другой должнобыть не менее 30;
• [2] если в одной выборке ровно три наблюдения, во второй должно бытьне менее семи; • если в одной выборке ровно четыре наблюдения, во второй должнобыть не менее пяти.
• [3] если в одной выборке ровно три наблюдения, во второй должно бытьне менее семи; • если в одной выборке ровно четыре наблюдения, во второй должнобыть не менее пяти.
• [4] если в одной выборке ровно три наблюдения, во второй должно бытьне менее семи; • если в одной выборке ровно четыре наблюдения, во второй должнобыть не менее пяти.
• [5] если в одной выборке ровно три наблюдения, во второй должно бытьне менее семи; • если в одной выборке ровно четыре наблюдения, во второй должнобыть не менее пяти.