Чистые полупроводники. 
Курс общей физики. 
Книга 3: термодинамика, статистическая физика, строение вещества

Если вещество состоит из одинаковых атомов и не содержит в себе инородных частиц (примесей), то его называют чистым. На рис. 10.7 показан график функции Ферми — Дирака для чистого полупроводника. Уровень Ферми Ер в этом случае лежит в запрещенной зоне между валентной зоной и зоной проводимости. Иногда эту запрещенную зону называют энергетической щелью.

При Т = 0 все состояния с энергиями в валентной зоне заполнены полностью (Л^; = 1), а все состояния в зоне проводимости свободны (N =0). Это означает, что все электроны ''привязаны" к своим атомам и нет ни одного свободного электрона. При Т ф 0 для энергий из валентной зоны функция Ферми — Дирака принимает значения ЛГ (?), которые ''чуть" меньше единицы. Это означает, что в результате теплового движения некоторые электроны отрываются от атомов и становятся свободными. Очевидно, что число N_e появившихся таким образом свободных электронов равно числу Nh состояний, освободившихся при их уходе из атомов. Свободное от электрона состояние, энергия которого лежит в валентной зоне, называют «дыркой». Это свободное состояние со временем опять может быть заполнено электроном. Если свободное состояние в валентной зоне (т.е. дырку) заполняет электрон, который до этого был свободным, то такой процесс называется рекомбинацией дырки со свободным электроном. Если же в дырку переходит валентный электрон от соседнего атома, то на прежнем месте этого электрона образуется новая дырка. Таким образом дырка может перемещаться по кристаллу от одного атома к другому. Дырка, т. е. свободное состояние в валентной зоне, обозначается символом h (от англ, hole — дырка).

Рис. 10.10. AmoMGe и его ближайшие соседи в кристалле германия. Вокруг каждого атома движутся восемь валентных электронов.

В изолированном атоме валентные электроны движутся вокруг ядра. Если атом входит в состав кристалла, то движение его валентных электронов существенно изменяется. В металле валентные электроны становятся «'свободными» и движутся по всему объему кристалла. В полупроводнике только немногие валентные электроны могут стать свободными. Валентный электрон, который еще не освободился из атома, движется так, что его можно считать принадлежащим сразу двум соседним атомам. Если можно было бы нарисовать траекторию движения такого электрона, то она была бы похожа на цифру восемь, охватывающую два атома. Такой электрон осуществляет связь двух атомов, которая называется ковалентной. Например, атом германия Ge содержит четыре валентных электрона. Поэтому в кристалле германия каждый атом Ge окружен четырьмя соседними атомами, с которыми он ''обменивается" валентными электронами, осуществляющими ковалентную связь (рис. 10.10). Эти четыре ''соседа" расположены в вершинах воображаемого правильного тетраэдра. Символ Ge⁺ на рис. 10.10 обозначает положительный ион германия, так называемый атомный остаток, который образуется после удаления из атома валентных электронов. На рис. 10.11 условно изображен процесс освобождения валентного электрона из атома Ge. На его месте образуется ''дырка".

Подставим выражение (10.20) для средней скорости электрона в полупроводниковом кристалле в формулу (10.42) для плотности электрического тока. Получим:

где учтено, что N = nV.

Среднее число N, электронов в одном состоянии под номером s с энергией из валентной зоны удобно представить как.

тпг (А) где /V_$ — среднее число дырок в этом состоянии, или, что-то же са мое, вероятность того, что состояние под номером s из валентной зоны не заполнено электроном. Так как сумма скоростей электронов из совершенно заполненной зоны равна нулю:

подстановка (10.50) в формулу (10.49) дает.

где.

Рис. 10.11. Освобождение валентного электрона.

Как видно из формулы (10.51), плотность электрического тока в полупроводнике есть сумма двух векторов jh и j_e. Первый из этих векторов jh обусловлен наличием свободных состояний (дырок) в валентной зоне, а второй j_e — наличием свободных электронов в зоне проводимости. При сравнении формул (10.52) приходим к выводу, что дырку можно рассматривать как подвижную частицу, несущую на себе положительный заряд + е. Создаваемая этими носителями тока (дырками и свободными электронами) электропроводимость кристалла называется собственной.

где.

— концентрации дырок и свободных электронов,.

— средние скорости дырки и свободного электрона.

Средние скорости электронов и дырок v_e и tfo не равны нулю только в том случае, когда кристалл находится во внешнем силовом поле. Например, когда в нем создано электрическое поле. При этом чем сильнее поле, тем больше скорости направленного движения частиц. Этому утверждению соответствуют равенства.

где и рл — подвижности электронов и дырок соответственно, Е — напряженность внешнего электрического поля в кристалле. Подстановка выражений (10.52) — (10.54) в формулу (10.51) приводит к закону Ома в дифференциальной форме

где удельная электропроводность полупроводника.

Чтобы установить температурную зависимость проводимости полупроводника, необходимо знать, как зависят от температуры концентрации свободных электронов и дырок.

Число N_e свободных электронов и число Nh дырок в полупроводнике определяются формулами.

Причем число N_e свободных электронов равно числу Nh дырок:

Из этих трех уравнений можно найти энергию Ферми Ер и концентрации п_е и rih свободных электронов и дырок:

где АЕ = Еч — Е — ширина запрещенной зоны между валентной зоной и зоной проводимости. Вывод этих формул будет проведен ниже.

Согласно формуле (10.59) концентрации электронов и дырок в полупроводнике равны нулю при Т = 0 и возрастают с ростом температуры. Причем скорость возрастания концентраций определяется в основном присутствием в этой формуле экспоненциального множителя.