Формирование логических приемов мышления

Различение видов признаков предметов необходимо для усвоения целого ряда логических приемов, подготавливающих ученика к овладению системой научных понятий в данной области. Одним из них является прием сравнения. Основными требованиями к выполнению этого приема являются: сравнение должно осуществляться по отношению к однородным предметам; оно должно производиться по существенным признакам. Сравнение предполагает умения выполнять следующие действия:

• а) выделять признаки у предметов;
• б) устанавливать общие и существенные признаки;
• в) выбирать одни из существенные признаков в качестве основания для сравнения;
• г) сопоставлять предметы по данному основанию.

Особое внимание необходимо обратить на выбор основания для сравнения. Следует иметь в виду, что сравнение может идти как по качественным характеристикам того или иного свойства (например, по цвету, форме), так и по количественным характеристикам (больше — меньше, длиннее — короче, выше — ниже и т. д.).

При количественном сравнении необходимо наличие единого эталона (меры), с помощью которого и производится сравнение. Это очень важно подчеркнуть, так как учащиеся нередко в средних и даже старших классах это требование не учитывают: сравнивают, например, дроби без приведения к общему знаменателю, неверно используют метрическую систему мер.

При обучении учащихся работе с мерой очень важно, чтобы они осознавали адекватность (соответствие) меры тем свойствам, по которым происходит сравнение: предметы по длине сравниваются с помощью меры длины, по массе — с помощью меры массы, по объему — с помощью меры объема и т. д.

Кроме того, сравнение может производиться не по одному, а по нескольким существенным признакам. Например, при сравнении окружности и треугольника учащиеся обнаружат, что эти фигуры замкнутые, это общий и существенный признак для этих фигур. Но фигуры отличаются видом линий, которые образуют их.

Вторым важным приемом для усвоения понятий является прием подведения под понятие. Его содержание состоит в следующем:

• 1. Выделение системы (или систем) необходимых и достаточных свойств объектов данного класса. При этом предполагается, что учащиеся уже знают различные виды свойств (существенные — несущественные; необходимые — достаточные; необходимые и одновременно достаточные) и могут их указывать, прежде всего, — находить эти свойства в определениях понятий.
• 2. Установление, обладает ли данный объект выделенными свойствами или не обладает.
• 3.

  Заключение

  о принадлежности объекта к данному понятию. Для правильного выполнения этой части действия учащиеся должны знать виды логических структур свойств: конъюнктивная, дизъюнктивная (признаки соединены соответственно союзом «и», «или»), их сочетание. Если учащиеся не знают этого, то они не смогут правильно оценить полученный результат. При конъюнктивной структуре признаков понятия надо руководствоваться следующим правилом:

  • — объект относится к данному понятию в том и только в том случае, когда он обладает всей системой необходимых и достаточных признаков;
  • — если объект не обладает хоть одним из признаков, то он не относится к данному понятию;
  • — если хоть про один признак ничего не известно, то при наличии всех остальных признаков не известно, принадлежит или не принадлежит объект к данному понятию.

Схематически это правило выглядит так:

где «+» — наличие признака, «-» — отсутствие признака, «?» — неизвестность.

Для понятий с дизъюнктивной структурой признаков правило имеет такой вид:

• — объект относится к данному понятию, если он обладает хотя бы одним признаком из числа альтернативных;
• — если объект не обладает ни одним их этих признаков, то он не относится к данному понятию;
• — если ни про один из признаков не известно, есть он или его нет, то не известно, относится или не относится этот объект к данному понятию.
• — если про один из признаков известно, что он отсутствует, а про другие признаки нет точных сведений (не известно, есть они или нет), то нельзя установить, относится или не относится объект к данному понятию.

бб Это логическое правило можно изобразить в следующем виде:

Содержание предписания по выполнению действия подведения под понятие также зависит от логической структуры признаков данного понятия. При конъюнктивной структуре признаков для подведения объекта под понятие необходимо:

• 1) установить наличие (отсутствие или неизвестность) первого признака:
  • -если первый признак отсутствует, то объект не принадлежит к данному понятию;
  • — если первый признак имеется у данного объекта (или про него нет точных сведений — не известно, есть он или нет), то:
• 2) установить наличие (отсутствие или неизвестность) второго признака и т. д.;
• 3) сравнить полученный результат с логическим правилом;
• 4) сделать вывод о принадлежности данного объекта данному понятию.

Схематически это предписание можно представить в следующем виде:

принадлежит неизвестно не принадлежит Дизъюнктивная структура признаков понятия требует следующей последовательности операций:

• 1) установить наличие (отсутствие, неизвестность) первого признака:
  • -если первый признак присутствует, то объект принадлежит данному понятию;
  • — если первый признак отсутствует (или про него неизвестно), то:
• 2) установить наличие (отсутствие, неизвестность) второго признака и т. д.;
• 3) сравнить полученный результат с логическим правилом;
• 4) сделать вывод о принадлежности данного объекта дащ ному понятию.

Для удобства работы это предписание можно изобразить схематически так:

Такие понятия как угол, окружность, имеют конъюнктивную структуру признаков, поэтому положительный ответ будет иметь место только при наличии всей их системы, указанной в определении.

Примером понятия с дизъюнктивной структурой признаков может служить понятие о неполном предложении: предложение с отсутствием подлежащего или сказуемого. В этом случае предложение будет относиться к неполным, если отсутствует любой из главных членов предложения.

Как видим, содержание действия подведения под понятие требует специального анализа, предполагает целую систему предварительных знаний и умений.

Следующим логическим приемом, необходимым для усвоения понятий, является прием выведения следствий. Данный прием является обратным по отношению к приему подведения под понятие. При подведении объекта под понятие задача заключается в том, чтобы установить, относится ли данный объект к данному понятию. Для этого, как было указано выше, проверяется у объекта наличие определенной системы признаков и на этой основе делается заключение о принадлежности (или не принадлежности, или неизвестности) объекта к понятию. При выведении следствий, наоборот, с самого начала известно, что объект принадлежит данному понятию. Задача заключается в указании тех признаков объекта, которыми он должен обязательно обладать, т. е. таких, которые являются следствием принадлежности его к данному классу объектов (к данному понятию).

Логическое правило, в соответствии с которым выполняется действие выведения следствий, графически может быть представлено в следующем виде:

где А + означает, что данный объект принадлежит к понятию А, aj, а_п — совокупность необходимых свойств объектов этого класса — следствия принадлежности объекта к понятию А. Каждый объект, который принадлежит к понятию А, обязательно обладает каждым из свойств а/, 02,…, а_п.

Количество свойств, которые могут быть выведены учащимися, зависит от содержания самого понятия и от того, насколько продвинулись ученики в его изучении.

В дальнейшем важно остановиться на переходах от основания к следствиям и наоборот. Многие ошибки учащихся при выведении следствий связаны с незнанием (или непониманием), что одно и то же следствие может быть связано с разными основаниями, поэтому от наличия следствия нельзя переходить к утверждению наличия основания. Так, многие учащиеся правильно указывают, что если углы смежные, то их сумма равна 180°. Но нельзя утверждать, как это делают ученики, обратное: если сумма углов равна 180°, то они являются смежными. Одно и то же следствие (сумма углов 180°) имеет разные основания.

Аналогичную ошибку допускают учащиеся, когда при анализе предложенных двух посылок — «Если данный четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Данный четырехугольник не является ромбом» — дают неверный ответ: у данного четырехугольника диагонали взаимно не перпендикулярны.

Суть ошибки учащихся состоит в том, что они сделали вывод с нарушением закона контрапозиции. Этот закон указывает, когда мы имеем право делать вывод, а когда не имеем.

Для удобства работы изобразим сущность закона контрапозиции схематически.

Первый случай простой: если имеет место А, то из этого следует В. Нам известно, что А налицо. Следовательно, В будет иметь место в обязательном порядке (необходимо следует).

Во втором случае известно, что В отсутствует. Но если отсутствует В, которое есть необходимый признак А, то, естественно, мы имеем право сделать вывод о том, что нет и А.

В двух последних случаях вывода сделать нельзя по указанным данным. В самом деле, известно, что есть В. Это следствие. Известно, что А имеет обязательное следствие В, но это вовсе не означает, что только А может иметь такое следствие. Поэтому мы не можем сделать вывод, что в этом случае есть А. Аналогично, в последнем случае известно, что нет А, но в силу только что сказанного нельзя утверждать, что нет и В, так как оно может быть следствием другого основания. Именно эту ошибку допустили ученики, когда утверждали, что если четырехугольник не является ромбом, то его диагонали не будут взаимно перпендикулярны.