Выбор формы модели

Многообразие и сложность экономических процессов предопределяют многообразие моделей, используемых для эконометрического анализа. В то же время это существенно усложняет процесс нахождения максимально адекватной математической зависимости объясняемой и объясняющих переменных. Для случая парной регрессии подбор модели обычно осуществляется по виду расположения наблюдаемых точек на корреляционном поле. Однако нередки ситуации, когда расположение точек приблизительно соответствует нескольким функциям и необходимо из них выявить наилучшую, как это было показано в примере 8.1. Например, криволинейные зависимости могут аппроксимироваться полиномиальной, показательной, степенной, логарифмической функциями. Еще более неоднозначна ситуация для множественной регрессии, когда объясняющих переменных две и больше, так как наглядное представление статистических данных в этом случае невозможно.

Правильный выбор вида эконометрической модели является отправной точкой для ее качественного анализа. На практике неизвестно, какая модель является верной, и зачастую подбирают такую модель, которая наиболее точно соответствует реальным данным. Поэтому, чтобы выбрать качественную модель, необходимо ответить на ряд следующих вопросов, возникающих при ее анализе.

• 1. Каковы признаки «хорошей» (качественной) модели?
• 2. Какие ошибки спецификации встречаются, и каковы последствия данных ошибок?
• 3. Как обнаружить ошибку спецификации?
• 4. Каким образом можно исправить ошибку спецификации и перейти к лучшей (качественной) модели?
• 8.8.1. Признаки «хорошей» модели

Каковы признаки хорошей модели? Необходимо выбрать критерии, которые позволят сделать обоснованный вывод. Для построения «хорошей» модели и сравнения ее с другими возможными моделями необходимо учитывать следующие свойства (критерии).

Скупость {простота). Модель должна быть максимально простой. Данное свойство определяется тем фактом, что модель не отражает действительность идеально, а является ее упрощением. Поэтому из двух моделей, приблизительно одинаково отражающих реальность, предпочтение отдается модели, содержащей меньшее число объясняющих переменных.

Единственность. Для любого набора статистических данных определяемые коэффициенты уравнения регрессии должны вычисляться однозначно.

Максимальное соответствие. Уравнение тем лучше, чем большую часть разброса зависимой переменной оно может объяснить. Поэтому стремятся построить уравнение с максимально возможным скорректированным коэффициентом детерминации R².

Согласованность с теорией. Никакое уравнение не может быть признано качественным, если оно не соответствует известным теоретическим предпосылкам. Другими словами, модель обязательно должна опираться на теоретический фундамент, так как в противном случае результат использования регрессионного уравнения может быть весьма неудовлетворительным.

Прогнозные качества. Модель может быть признана качественной, если полученные на ее основе прогнозы подтверждаются реальностью.

Поскольку не существует какого-либо единого правила построения регрессионных моделей, анализ перечисленных свойств позволяет строить более качественные эконометрические модели.

8.8.2. Виды ошибок спецификации Одним из базовых предположений построения качественной модели является правильная (хорошая) спецификация уравнения регрессии. Правильная спецификация уравнения означает, что оно в целом верно отражает соотношение между экономическими показателями, участвующими в модели. Это является необходимой предпосылкой дальнейшего качественного оценивания.

Неправильный выбор функциональной формы или набора объясняющих переменных называется ошибками спецификации. Рассмотрим основные типы ошибок спецификации.

1. Отбрасывание значимой переменной.

Суть данной ошибки и ее последствия наглядно иллюстрируются следующим примером. Пусть теоретическая модель, отражающая рассматриваемую экономическую зависимость, имеет вид.

Данной модели соответствует следующее эмпирическое уравнение регрессии:

Исследователь, но каким-то причинам (недостаток информации, статистическая незначимость коэффициента Ь₂, недостаточное знание о предмете исследования и т. п.) считает, что на переменную Y реально воздействует лишь переменная Х_{. Он ограничивается рассмотрением модели.

При этом он не рассматривает в качестве объясняющей переменную Х₂, совершая ошибку отбрасывания существенной переменной.

Отметим, что ошибка данного рода существенно отражается и на коэффициенте детерминации R². В нашей ситуации при использовании последнего уравнения значение коэффициента детерминации будет завышать роль переменной Х_{ в объяснении дисперсии переменной Y. Это связано с косвенным «присутствием» в уравнении регрессии переменной Х₂, что повышает объясняющую способность уравнения в целом.

2. Добавление незначимой переменной.

В некоторых случаях в уравнения регрессии включают слишком много объясняющих переменных, причем не всегда обоснованно. Например, теоретическая модель имеет следующий вид:

Исследователь заменяет ее более сложной моделью:

добавляя при этом нс оказывающую реального воздействия на Y объясняющую переменную Х₂. В этом случае совершается ошибка добавления несущественной переменной.

Последствия данной ошибки будут не столь серьезными, как в предыдущем случае. Оценки коэффициентов, найденные для усложненной модели, остаются, как правило, несмещенными и состоятельными. Однако их точность уменьшится, увеличивая при этом стандартные ошибки. Это отразится на их устойчивости. Увеличение или уменьшение объема выборки приводит к изменению коэффициентов регрессии.

Увеличение дисперсии оценок может привести к ошибочным результатам проверки гипотез относительно значений коэффициентов регрессии, расширению интервальных оценок.

3. Выбор неправильной функциональной формы.

Поясним суть этой ошибки. Пусть правильная регрессионная модель имеет вид.

Любое эмпирическое уравнение регрессии с теми же переменными, но имеющее другой функциональный вид, например , приводит к искажению истинной зависимости.

Последствия данной ошибки будут весьма серьезными. Обычно такая ошибка приводит либо к получению смещенных оценок, либо к ухудшению статистических свойств оценок коэффициентов регрессии и других показателей качества уравнения. В первую очередь это вызвано нарушением выполнения предпосылок условий Гаусса — Маркова для отклонений. Прогнозные качества модели в этом случае очень низки.

8.8.3. Обнаружение и корректировка ошибок спецификации При построении уравнений регрессии, особенно на начальных этапах, ошибки спецификации весьма нередки. Они допускаются обычно из-за недостаточных знаний об исследуемых экономических процессах, или из-за недостаточно глубоко проработанной теории, или из-за погрешностей сбора и обработки статистических данных при построении эмпирического уравнения регрессии. Важно уметь обнаружить и исправить эти ошибки.

Сложность процедуры определяется типом ошибки и знаниями об исследуемом объекте.

Если в уравнении регрессии имеется одна несущественная переменная, то она обнаружит себя по низкой 7-статистике. В дальнейшем эту переменную исключают из рассмотрения.

Если в уравнении несколько статистически незначимых объясняющих переменных, то следует построить другое уравнение регрессии без этих незначимых переменных. Затем с помощью Е-статистики сравниваются коэффициенты детерминации для первоначального (Rf) и дополнительного (/?!) уравнений регрессий:

Здесь п — число наблюдений; т — число объясняющих переменных в первоначальном уравнении; к — число отбрасываемых из первоначального уравнения объясняющих переменных.

Если рассчитанное значение F больше критического, то нулевая гипотеза о равенстве коэффициентов детерминации должна быть отклонена. В этом случае одновременное исключение из рассмотрения к объясняющих переменных некорректно, т. е. качество первоначального уравнения лучше, так как оно объясняет гораздо большую долю разброса зависимой переменной.

При наличии нескольких несущественных переменных, возможно, имеет место мультиколлинеарность. Рекомендуемые выходы из этой ситуации подробно рассмотрены в гл. 7.

Однако осуществление указанных проверок имеет смысл лишь при правильном подборе вида (функциональной формы) уравнения регрессии, что можно осуществить, если согласовывать его с теорией.

Отметим, что выбор модели далеко не всегда осуществляется однозначно, и в дальнейшем требуется сравнивать модель как с теоретическими, гак и с эмпирическими данными, совершенствовать ее. Напомним, что при определении качества модели обычно анализируются следующие параметры:

• а) коэффициент детерминации и статистика Фишера для определения значимости уравнения регрессии;
• б) скорректированный коэффициент детерминации для определения состава объясняющих переменных;
• в) проверка значимости коэффициентов регрессии с помощью 7-статистики;
• г) проверка отсутствия автокорреляции с помощью статистики Дарбина —Уотсона DW
• д) проверка выполнения предпосылки о постоянстве дисперсии случайных отклонений;
• е) согласованность знаков коэффициентов регрессии с теорией;
• ж) прогнозные качества (ошибки) модели.

Если все эти показатели удовлетворительны, то данная модель может быть предложена для описания исследуемого реального процесса. Если хотя бы одна из описанных выше характеристик не является удовлетворительной, то есть основания сомневаться в качестве данной модели (неправильно выбрана функциональная форма уравнения; не учтена важная объясняющая переменная; имеется объясняющая переменная, не оказывающая значимого влияния на зависимую переменную).

Для более детального анализа адекватности модели может быть предложено исследование остаточного члена модели.

8.8.4. Исследование остаточного члена модели Графическое представление поведения остаточного члена е (т.е. графическое представление случайных отклонений е_г, г = 1, 2,…, п) позволяет прежде всего проанализировать наличие автокорреляции и гетероскедастичности (что рассмотрено в гл. 5 и 6).

Кроме того, с помощью графического представления отклонений е может быть также обнаружена неправильная спецификация уравнения. Для этого строится график зависимости величин отклонений е от номера наблюдения i (рис. 8.9).

Рис. 8.9. График зависимости величин отклонений от номера наблюдения.

Если зависимость, изображенная на этом графике, имеет регулярный (неслучайный) характер (рис. 8.9, а), то это означает, что исследуемое уравнение регрессии неверно специфицировано; на рис. 8.9, б приведен пример случайной связи.