Неравенство Вейерштрасса. 
Вариационное исчисление и методы оптимизации

Неравенство Лежандра (6.14) есть необходимое условие слабого минимума, т. е. минимума по отношению к малым вариациям бz, Ьр, bq. При сильных вариациях, как мы помним, величина bz мала, тогда как производные bp = bz_x и bq = bz_y могут быть любыми. Построим необходимое условие для этого случая.

Как и в одномерном случае,.

или где Е, как и ранее, — избыточная функция Вейерштрасса со слагаемыми:

Вновь рассмотрим предельный переход на вариациях специального вида в областях AS,5¹, и S₂ (см. рис. 6.2). Как и ранее, примем, что в области AS вариации бр и 6с/ любые, тогда как на 5, и S₂ вариаций производных бр, б<�у малы, т. е. здесь мы рассматриваем сильные вариации.

Запишем выражение (6.16) в виде.

Пусть, как и ранее, малый параметретаков, что ?-«0 и при этом b ~ с², а величины а и с ~ е. В таком случае, помня, что в области AS вариации 6р и 6с/ любые, для областей 5, и S₂ получаем, что в них бр и 6q пропорциональны е. Тогда в 5, + S₂, с точностью до квадратичных членов, получаем для приращения Дf~bf + б²f и в силу того, что здесь Е в 8/ + 8²/ - 8/ ~ е², получаем такую оценку:

При этом

и величина ?1_ср уже не мала! Таким образом соотношение (6.18) в пределе таково:

И вновь, как и ранее, в силу произвольности области ДS и той точки, в окрестности которой эта область построена, при е -*? О Окончательно в пределе при 0 получаем.

Замечание 6.1. Видно, что, как и ранее, при малых 8р, 6q неравенство Вейерштрасса (6.19) переходит в условия Лежандра (6.14). Действительно, сохраняя в разложении только квадратичные члены, получаем.

Замечание 6.2. Конечно, крайне важным является вопрос о рассмотрении вариационных задач общего вида, в которых функционал зависит от нескольких функций двух независимых переменных, т. е. имеет вид:

Такой класс задач в связи с постановкой задачи Лагранжа—Вольца мы рассмотрим далее, а сейчас отметим лишь то обстоятельство, что все подходы, представленные в данном разделе, без каких-либо изменений переносятся на только что рассмотренный функционал.