Толстостенные трубы. 
Расчеты на ползучесть элементов машиностроительных конструкций

Рассмотрим толстостенную трубу с днищами, внутренний радиус которой г" а наружный — г_г, труба нагружена внутренним Рх и наружным р₂ давлениями и осевой силой N (рис. 4.21).

Для бесконечно длинной трубы из условия симметрии очевидно, что ее поперечные сечения при деформации остаются плоскими и перпендикулярными к оси, т. е. осевая деформация трубы не изменяется по радиусу и длине:

Рис. 4.21. Схема нагружения толстостенной трубы.

Для трубы конечной длины постоянство осевой деформации может быть обеспечено приложением на торцах нормальных сил, распределенных по определенному закону симметрично относительно оси трубы. Равнодействующая этих сил /V определяется величиной осевой деформации. В сечениях, достаточно удаленных от торцов, закон распределения по сечению внутренних нормальных сил не зависит от того, как внешние силы распределены по торцам. Последнее дает возможность для сечений трубы конечной длины, достаточно удаленных от ее торцов, считать условие (4.77) справедливым.

Допустим, что постоянная в соотношении (4.77) равна нулю:

Очевидно, что этому условию соответствует определенное значение нормальной силы.

Вследствие осевой симметрии напряжения деформации и перемещения являются функциями только радиуса г. По этой же причине касательные напряжения в окружном и радиальном сечениях отсутствуют, и, следовательно, эти сечения, а также поперечное сечение трубы являются главными. Напряжения в них — радиальное а_г> окружное а, и осевое а_г — главные.

Для определения радиального и окружного напряжений используем дифференциальное уравнение равновесия элемента трубы [1021:

Поскольку в это уравнение входят две неизвестные, задача является статически неопределимой.

Для решения ее рассмотрим деформации. В случае установившейся ползучести окружная е^с, и радиальная е‘ деформации ползучести в некоторой точке трубы, на расстоянии г от ее центра, могут быть выражены через радиальное смещение и^с в этой точке, возникающее вследствие ползучести материала, следующим образом [1021:

Условие несжимаемости материала имеет вид Подставив в него выражения (4.80) и (4.78), получим.

Интегрируя это уравнение по радиусу, можно установить закон изменения по радиусу радиального перемещения, возникшего вследствие ползучести материала трубы:

где С — некоторая функция времени.

Подставив соотношения (4.88) в уравнение (4.87), получим формулу для радиального напряжения:

На рис. 4.22 представлены эпюры напряжений в толстостенной трубе, подверженной воздействию внутреннего давления. При этом принято, что отношение внутреннего радиуса трубы к наружному г_х/г₂ = 0,5, а показатель степени п — 3. Эпюры окружных напряжений при установившейся ползучести и в пределах упругости значительно отличаются друг от друга. При установившейся ползучести наибольшее окружное напряжение возникает в точках наружного контура, а не в точках внутреннего контура, как в пределах упругости.

Определим радиальное перемещение, возникающее вследствие ползучести материала трубы. Из формулы (4.88) имеем Подставив это соотношение в уравнение (4.81), получим.

Рис. 4.22. Эпюры напряжений в толстостенной трубе, нагруженной внутренним давлением при установившейся ползучести (сплошные линии) и в пределах упругости (штриховые линии).

Найдем теперь нормальную силу в поперечном сечении трубы. Последняя связана с осевым напряжением соотношением.

Подставим в это выражение осевое напряжение по формуле (4.91). Тогда после интегрирования и преобразований получим N = л (p, r²_t — p₂rl).

Очевидно, что такая осевая сила возникает в толстостенной трубе с днищами, нагруженной внутренним и наружным давлениями. Таким образом, осевая деформация равна нулю, если торцы трубы не могут смещаться в осевом направлении или если осевая сила возникает только за счет давления на днища.

В статье И. В. Стасенко [95] даны решения задачи установившейся ползучести толстостенной трубы, нагруженной внутренним давлением, осевой силой, изгибающим и крутящим моментами.

Ряд интересных контактных задач ползучести решен в работах Н. X. Арутюняна [2, 3, 4].