Проблема замыкания системы уравнений

Число неизвестных в системе уравнений (11.10)—(11.12) превышает число уравнений. Поэтому для замыкания системы следует привлечь дополнительные уравнения, устанавливающие связь между искомыми температурами. Укажем некоторые способы замыкания системы уравнений модели с сосредоточенными параметрами. Наиболее простым приемом является допущение о равномерности температурного поля в телах. В этом случае полагают T_iV= T_{iS 1} = T_iS 2 = … = T_{iS N}= T_iS и вводят одну среднюю температуру тела Г_;. Этот подход правомерен, когда внутренние тепловые сопротивления малы по сравнению с внешними, он использован при реализации поэтапного моделирования.

В некоторых системах возможно провести дальнейшее укрупнение модели: принять допущение о равенстве температур некоторых тел, объединить их в условные тела и перейти к рассмотрению модели с меньшим числом элементов. Предельный способ укрупнения заключается в сведении системы уравнений к системе двух уравнений для рассматриваемого 1 -го и «эффективного» тела.

Иногда для описания теплообмена данного тела с окружающими телами и теплоносителями достаточно ввести его среднеповерхностную температуру T_iS = T_iS j = … = T_{iS Л}г, отличную в нестационарном режиме или при наличии внутренних источников от среднеобъемной T_jV. В этом случае замыкание системы уравнений осуществляют, вводя коэффициент неравномерности температурного поля тела |/, представляющий отношение среднеповерхностного и среднеобъемного перегревов.

При существенном отличии условий теплообмена на отдельных участках тела и значительном внутреннем тепловом сопротивлении возникает необходимость расчета средних температур отдельных участков поверхности T_iS |,…, T_iS дг. В этих случаях для замыкания системы уравнений применяют следующий подход. Строят точное или приближенное решение, описывающее распределение температуры в г-м теле при наличии на участках границы Sj « теплообмена с некоторыми условными средами, имеющими пока неизвестные температуры T_{i п}. Далее проводят над этим решением операции осреднения по поверхностям и по объему, получают уравнения, которые связывают тепловые потоки на участках границы 5, _п и искомые температуры. В общем случае такие уравнения имеют вид.

где Иногда для построения выражений вида (11.13) применяют какую-либо полиномиальную аппроксимацию температурного поля в теле. Предполагая, что найденные соотношения между средними температурами участков поверхностей и тепловыми потоками остаются справедливы и для элемента (компонента), входящего в состав системы тел, используют эти соотношения для замыкания системы уравнений (11.10), (11.11).

Замыкание уравнений (11.11), (11.12) для потоков теплоносителей сводится к установлению связи между температурами Uj_Vl Uf^x, Uf^ux. Наиболее часто используют допущения об идеальном перемешивании теплоносителя в объеме V/(6^r_/^BbIX = Uj_V) или о линейном изменении температуры потока, но длине канала (U_iv = (Uf^x+Uf^ux)/2).

Задача замыкания системы уравнений, рассмотренная на примере перехода к модели с сосредоточенными параметрами, возникает при любом укрупнении первоначальной модели с помощью усреднения исходных уравнений.

Смысл замыкания укрупненной модели заключается в приближенном восстановлении информации о температурных полях, утраченной при проведении усреднения. Адекватность такой модели, ее пригодность для расчета осредненных температур и тепловых потоков при условии адекватности исходной модели определяются корректностью принятых способов замыкания.