Автокорреляция и другие проблемы моделей временных рядов

Третий этап процедуры Бокса — Дженкинса — тестирование моделей.

Мультиколлинеарность. Зачастую проблема мультиколлинеарности стоит для временных рядов достаточно остро. Приведем простой пример. Рассмотрим обычную Л/Д2)-модель:

Сдвигая уравнение регрессии на один шаг назад, получим.

Исходя из этого уравнения мы видим, что у,, зависит от у, ₂ и y_f_₃. Возвращаясь к уравнению для момента времени t, можно заметить, что оба регрессора, у,, и у, ₂, будут иметь ненулевую корреляцию, и, как следствие, в модели может наблюдаться мультиколлинеарность. Хотя мультиколлинеарность во временных рядах в большинстве случаев не приводит к серьезному увеличению дисперсии, эту особенность временных рядов необходимо учитывать при построении моделей.

Нормальность остатков. Остатки моделей ARIMA (p, d, q) аналогично моделям для пространственных выборок необходимо проверять па нормальность, чтобы гарантировать корректное использование статистических тестов. Однако если модель ARIMA (p, d, q) используется для прогнозирования, то статистические тесты для нее уже не столь актуальны, более того, добиться нормальности остатков для моделей временных рядов на практике бывает крайне затруднительно.

Гетероскедастичность. Гетероскедастичность в моделях временных рядов тестируется и исправляется аналогично тому, как это делается для пространственных данных.

Следует сказать и про связь гетероскедастичности и нестационарное™ остатков моделей временных рядов. Если дисперсия остатков непостоянна, то она меняется со временем, а это значит, что остатки являются нестационарными.

Автокорреляция. Для моделей временных рядов обычно нарушается условие теоремы Гаусса — Маркова V? е N₀, j е Z, cov (e₍, е, .) * 0, j * О (N₀ — множество натуральных чисел, дополненных нулем). Наиболее распространены процессы авторегрессии ошибок.

Например, процесс автокорреляции первого порядка обычно задают следующим образом: г, = р,, + и_г где и, ~ WN{0; а²) — белый шум; р ^ 0 — коэффициент авторегрессии. Мы предполагаем, что е, и, нескоррелировапы в любой момент времени, таким образом, это просто процесс AR ( 1) для ошибок модели. Процесс автокорреляции 4-го порядка, соответственно, будет задаваться как процесс AR (A) для ряда ошибок. В общем случае в ошибках может быть процесс типа ARIMA (p, d, q).

Причины автокорреляции ошибок следующие^[1].

• 1. Систематические ошибки при измерении переменных. Ошибки измерения могут изменяться каким-то определенным образом во времени. Например, при развитии технологий многие переменные могут наблюдаться со значительно меньшими погрешностями, чем раньше (например, количество автомобилей в Москве).
• 2. Пропущенные переменные. Если в модели пропущены переменные, то они естественным образом попадают в остатки модели, а поскольку обычно пропущенные регрессоры имеют значимую автокорреляцию, то и в остатках также появляется автокорреляция.
• 3. Неправильная форма модели. Если подобрана неправильная спецификация модели (например, переменные не преобразованы необходимым образом), то это также может быть причиной возникновения автокорреляции.
• 4. Инерция в переменных модели. Если переменные модели содержат значимую автокорреляцию, то крайне вероятно, что и остатки модели также будут содержать автокорреляцию, поскольку остатки модели однозначно определяются через остальные переменные.

Последствия наличия автокорреляции. Рассмотрим модели ADL (iautoregressive and distributed lags). Помимо ДД-части, данные модели могут содержать и экзогенные регрессоры. В таких моделях, как правило, отсутствует МА-часть, так как экзогенные регрессоры элиминируют все пропущенные эффекты, которые до этого отдавались на откуп МЛ-части в моделях, содержащих только лаги зависимых переменных и ошибок. Обычно используют обозначение ADL{p, k_v k₂, …, k_m), где p — количество лагов зависимой переменной, a k_v k₂,…, k_m соответствуют количеству лагов (учитывается также нулевой лаг, т. е. текущее значение) экзогенных переменных. Сначала необходимо оценить интересующее уравнение, положим, что в нашем случае это ADL (Q; 1; 1;…; 1): у, = Р₀ + р, х₁₍ + … + fi_mx_ml + в,. Что произойдет, если у ошибок будет автокорреляция? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно изучить свойства полученных оценок.

Очевидным образом, несмещенность МНК-оценок сохранится при наличии автокорреляции, так как автокорреляция влияет лишь на ковариацию и дисперсию оценок. Свойство состоятельности при отсутствии в правой части уравнения лагов зависимой переменной также не пропадет, так как мы, но умолчанию предполагаем, что в общем случае регрессанты нс связаны ошибками ни в момент времени t, ни в предыдущие моменты времени.

Покажем, что автокорреляция влияет на эффективность наших оценок. Предположим, что наш процесс задается следующим образом:

При предположении, что |р| < 1 (т.е. мы предполагаем, что е₍ — стационарный процесс), выведем формулу для дисперсии е₍.

Используя уравнение е, = ре,, + v_t, мы можем рассчитать искомую дисперсию:

Таким образом, оценка будет завышать истинное значение дисперсии. Из-за этого будут смещены оценки дисперсий коэффициентов. Поэтому применение статистических тестов в условиях автокорреляции некорректно. Аналогичная ситуация будет и в случае автокорреляции более высших порядков.

Отдельно стоит отметить случай, когда основная модель представляет собой процесс с AR-частью. Тогда оценки будут несостоятельны, так как лаги ошибок будут коррелировать с объясняющими переменными. Действительно, рассмотрим простую модель: y_t = ay_t__t + е, г, = ps,__t + v_r Подставим уравнение AR-модели для ошибок в основное уравнение: y_t = ay_t_ _{ + pe_r_ * + v_t. Очевидным образом ковариация между y_t__{ и значима. Таким образом, оценка, а будет несостоятельной из-за возникшей эндогенности.

• [1] См. работу [22, Ch. 12].