Явление конденсации в вырожденном Бозе-газе

и определяет химический потенциал бозе-газа р как функцию числа частиц газа N и температуры 0. Продифференцируем р по 0 по правилам вычисления производной неявной функции:

Поскольку для бозонов химический потенциал всегда меньше нуля (см. с. 152), го все подынтегральные функции в этом выражении всюду положительны и, следовательно, др/д0<�О. Это означает, что химический потенциал, оставаясь отрицательным, убывает с ростом температуры, а модуль химического потенциала |р|, соответственно, уменьшается с уменьшением Г. Тогда из выражения (6.22) следует, что минимально возможное значение |р| = 0 достигается при некотором отличном от нуля значении температуры ТоОно определяется равенством Сделаем в (6.23) замену переменных z = е/0_о, тогда Входящие в это соотношение интегралы вида.

выражаются через числа Бернулли В (п) (см. с. 205). В интересующем нас случае ?(½) = 2,31. Тогда температура, при которой химический потенциал идеального бозе-газа обращается в нуль, соответствует значению.

Так как р = 0 — минимальное значение |ц|, то выражение (6.24) должно оставаться справедливым и при температурах, меньших Т₀. Другими словами при Т < Т₀ число частиц газа N равно.

Но из этого соотношения следует, что при дальнейшем уменьшении температуры число частиц бозе-газа уменьшается пропорционально Г³². Куда же исчезают частицы? Ответ на этот вопрос сводится к следующему рассуждению. Условие нормировки (6.22) содержит в качестве множителя /ё и, если энергия частицы равна нулю, то такая частица выпадает из выражения (6.22). Поэтому полное число частиц необходимо записать в виде.

При Т > То химический потенциал газа не равен нулю, а число частиц с нулевой энергией Л'_е=0=0. При Т <�Г₀ химический потенциал обращается в нуль и появляются частицы с равной нулю энергией: N_c=0 = N — N_e>0 0. Другими словами, при Т <�Т₀, с уменьшением температуры, число N_c>0 уменьшается пропорционально Г^3/2, а число N_e=0 соответственно растет, пока при 7* = О не станет равным N, то есть до тех пор, пока все частицы газа не перейдут в состояние с нулевой энергией (см. задачу 4 на с. 169).

Это явление называется конденсацией бозе-газа, а температуру Т = Г₀ называют температурой конденсации.

Поскольку при абсолютном нуле температуры газ полностью конденсируется, то энергия всех его частиц равна нулю и внутренняя энергия газа Е = Nz = 0. Следовательно, Су = 0, что, как и в случае ферми-газа, находится в согласии с теоремой Периста.