Критерии устойчивости систем автоматического управления

Алгебраический критерий устойчивости Рауса — Гу рви ца. В этом случае исходным при анализе замкнутой САУ на устойчивость является характеристическое уравнение замкнутой САУ:

По критерию Рауса—Гурвица необходимым условием устойчивости замкнутой САУ (в которой все действительные корни характеристического уравнения отрицательные, а у комплексных корней — отрицательная действительная часть) являются положительные коэффициенты а_п…а и свободный член а₀ исходного характеристического уравнения. Это условие является также достаточным для систем с характеристическим уравнением 1-го и 2-го порядков. При п = 1 характеристическое уравнение имеет вид.

т.е. если а > 0 и а₀ > 0, то корень р < 0 и САУ устойчивая.

При п — 2 уравнение имеет вид.

В этом случае, если а} < 4а₂а_0у корни могут быть комплексные,.

{).

но действительная их часть ~Т7~ всегда будет отрицательной,.

I ^2аЧ

если а₂, а, а₀> 0.

Для систем выше 2-го порядка при сохранении необходимого условия устойчивости а_п…а₀ > 0 достаточным условием будут положительные знаки определителей Гурвица, т. е. главного определителя матрицы и ее диагональных миноров, которые составляются по определенному правилу из коэффициентов и свободного члена а₀ характеристического уравнения замкнутой САУ.

Для системы 3-го порядка с характеристическим уравнением.

определитель такой матрицы.

При этом если А, > 0, то САУ устойчивая.

Для системы 4-го порядка с характеристическим уравнением.

должен быть положительным главный определитель Гурвица:

а также определитель диагонального минора:

Следовательно,.

Данный алгебраический критерий устойчивости для систем выше 5-го порядка, как правило, не применяется, поскольку тогда вычисление определителей Гурвица становится сложной задачей. Для таких систем можно применить частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста.

Частотный критерий устойчивости Михайлова. Исходным при анализе замкнутой системы на устойчивость по критерию А. В. Михайлова (русский математик, разработавший этот критерий в 1930 г.) также является характеристическое уравнение замкнутой САУ:

Заменив в этом уравнении оператор Лапласа р на выражение /со в соответствующей степени, получают аналитическое выражение вектора Михайлова, который делят на действительную и мнимую части:

Далее строят годограф вектора Михайлова — кривую, которая описывает конец этого вектора на комплексной плоскости при изменении частоты со от 0 до.

Определение: замкнутая система будет устойчивой, если годограф вектора Михайлова (при со = 0), начиная свое движение с положительной действительной полуоси комплексной плоскости (д₀ > 0), двигаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, последовательно обходит столько квадрантов комплексной плоскости, каков порядок исходного характеристического уравнения замкнутой системы, и уходит в последнем квадранте в бесконечность.

На рис. 7.5 даны примеры годографов Михайлова, соответствующих устойчивым и неустойчивым САУ.

Критерий устойчивости Михайлова удобно применять для систем высокого порядка, т. е. с п = 6, 8, 10. При делении аналитического выражения вектора Михайлова на действительную и мнимую части в первую попадают члены с четной степенью, так как /² = — 1, /⁴ = +1, /⁶ = -1, а в последнюю — с нечетной, так как /' = /, /³ = -/, /⁵ = /. При построении годографа Михайлова, задавая значения со 1, — с высокими.

Частотный критерий устойчивости Найквиста. Особенность этого критерия заключается в том, что устойчивость замкнутой системы определяют, используя АФЧХ или АФХ разомкнутой системы.

Рис. 7.5. Примеры годографов Михайлова, соответствующих устойчивым и неустойчивым САУ:

а, в — устойчивые САУ; б, г — неустойчивые САУ Следует отметить, что разомкнутая система практического смысла не имеет. При размыкании связи объекта с регулятором или регулятора с объектом нарушается взаимодействие элементов системы и объект становится неуправляемым. Однако в методическом плане в ТАУ разомкнутая система используется часто. Передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид.

Заменив оператор Лапласа р в передаточных функциях объекта и регулятора на выражение /со, получим аналитическое выражение вектора АФХ разомкнутой системы:

Разделив вектор АФХ разомкнутой САУ на действительную и мнимую части, строят его годограф, изменяя частоту со от 0 до (c)о.

Определение', замкнутая система будет устойчивой, если АФХ разомкнутой САУ на комплексной плоскости не охватывает точку Е с координатами [-1; /0] (рис. 7.6, а, кривая /).

Если АФХ разомкнутой системы проходит через точку ?, то замкнутая система теоретически будет на границе устойчивости,.

а 6.

Рис. 7.6. Примеры АФХ разомкнутых САУ: а — соответствующих замкнутой устойчивости (кривая /) и замкнутой неустойчивости (кривая 2) б — многократно пересекающей отрицательную действительную полуось, а практически она неустойчивая. Чем правее отточки Е АФХ разомкнутой САУ пересекает отрицательную действительную полуось комплексной плоскости, тем большим запасом устойчивости обладает замкнутая система.

Иногда АФХ разомкнутой системы при изменении частоты со от 0 до оо несколько раз пересекает отрицательную действительную полуось комплексной плоскости (рис. 7.6, б).

В этом случае замкнутая система будет устойчивой, если число пересечений ЛФХ разомкнутой САУ отрицательной действительной полуоси левее точки Е [-1; /0] снизу вверх равно числу ее пересечений сверху вниз. На рис. 7.6, б АФХ разомкнутой САУ пересекает отрицательную действительную полуось комплексной плоскости левее точки Е один раз снизу вверх и один раз сверху вниз. Следовательно, данная замкнутая САУ устойчивая.

Если проектируемая система устойчивая, можно приступить к анализу качества ее работы.