Выделим в сплошной среде некоторый объем V и применим к нему принцип Даламбера, определяющий, что главный вектор всех сил, приложенных к частицам объема (включая силы инерции), равен нулю. В число сил будут входить массовые силы (включая силы инерции) и силы, действующие по поверхности выделенного объема:
Применяя для поверхностного интеграла установленное ранее соотношение, приводящее этот интеграл к объемному, получим.
В силу произвольности объема подынтегральное выражение должно обращаться в ноль, откуда получаем следующее дифференциальное уравнение движения:
или называемое уравнением движения сплошной среды в напряжениях.
Приведенные уравнения являются векторными и должны быть спроецированы на оси выбранной СК. Нетрудно представить их в покоординатной записи. Так, проекции на оси декартовой системы координат векторного уравнения (3.14) представятся в виде.
При переходе в иную систему координат компоненты напряжений преобразуются по приведенным ранее тензорным соотношениям. Таким образом обеспечивается инвариантность закона движения относительно выбора СК.
Заметим, что в левых частях уравнений движения (3.13), (3.14) и (3.15) находятся материальные прозводные по времени, определяющие ускорение материальной частицы среды, а не производную по времени от скорости в дайной точке пространства. Поэтому в эйлеровых координатах эти производные должны быть преобразованы, но правилу d/dt = d/dt + (V ? v). В лагранжевых координатах, когда положение материальной частицы определяется вектором перемещения и, для материальных производных скорости будем иметь.
В этой записи часто используется символ частной производной, так как в лагранжевых переменных уже эти производные не разделяются на частную и материальную.
Уравнения движения сплошной среды в напряжениях запишутся в этом случае как.
