Определяющие соотношения. 
Механика сплошной среды: теория напряжений и основные модели

Соотношения между напряжениями, деформациями и температурой иногда называют определяющими соотношениями. Установим эту связь из общих термодинамических положений.

В уравнение сохранения энергии, имеющее смысл первого закона термодинамики: pU = — (р,? + гг, подставим представление для внешнего теплоподвода через термодинамические параметры системы в форме второго закона термодинамики: рТк = —ерл 4- гг. В результате получим выражение для приращения внутренней энергии системы, выраженное через термодинамические параметры:

В данном выражении мы перешли от производных по времени к дифференциалам, что позволяет представить полученное выражение в форме термодинамического соотношения. Из этого выражения видно, что внутренняя энергия является полным дифференциалом переменных Sij и s, которые называются естественными переменными для этой термодинамической функции. Коэффициенты при дифференциалах естественных переменных могут быть представлены через частные производные от этой термодинамической функции — внутренней энергии по соответствующим переменным:

Возможность такой связи и будет использоваться для получения определяющих соотношений — соотношений, связывающих напряжения, деформации и температуры в подвижной сплошной среде. Однако для установления этих связей удобно перейти к другой термодинамической функции, естественными переменными для которой являются компоненты тензора деформации и температура.

Обычно представления о термодинамике строятся в системе образования на примере газовых систем. Для газа основными термодинамическими переменными являются давление, удельный объем и температура, а к числу основных термодинамических функций относятся следующие:

В термодинамике деформируемого твердого тела эквивалентами давления являются компоненты тензора напряжений, а удельному объему соответствует тензор деформаций. При этом положительному изменению удельного объема (сжатию среды) соответствуют отрицательные значения относительных деформаций, что проявляется в изменении знака в тех членах термодинамических соотношений механики сплошной среды, в которых встречается тензор деформаций. Заметим также, что термодинамические соотношения имеют скалярную природ}' и встречающиеся в них тензорные объекты выступают в инвариантной форме — в виде сверток.

Другим обстоятельством, которое надо учитывать при записи термодинамических соотношений механики сплошной среды, является следующее. Термодинамические характеристики обычно относятся к единице количества вещества. В задачах деформируемого тела напряжения и деформации связаны с геометрическими характеристиками системы и удельные параметры относятся к единице объема, а не массы. Поэтому в термодинамических соотношениях проявляется плотность вещества, которая в качестве множителя осуществляет перевод массовых характеристик в объемные (или наоборот).

Таким образом, эквивалентом соотношения для внутренней энергии газа: dU = —р dv + Т ds является полученное нами ранее соотношение для внутренней энергии деформируемого тела: dU = = -Уdeij + Т ds, а для свободной энергии Гельмгольца F = U — sT

в механике сплошной среды будет действовать соотношение.

По так как свободная энергия является полным дифференциалом, то для нее.

Из сопоставления (5.14) и (5.15) получим следующую взаимосвязь:

На основе этих соотношений можно установить взаимосвязь между напряжениями, деформациями и температурой. Для этого нужно определить вид свободной энергии Гельмгольца в функции термодинамческих параметров сплошной среды: F = F (?ij, T).

Представим Т (еу, Т) с помощью формулы Тейлора в виде функции ее естественных переменных. В качестве базового состояния примем ненапряженное и недеформированное состояние с однородным температурным полем (Т = То, еу = 0, <�ту (0,7Ь) = 0). Это разложение, ограниченное квадратичными членами, будет иметь вид.

Удержание квадратичных членов обеспечивает получение линейных определяющих соотношений.

Можно принять, что в естественном состоянии свободная энергия и энтропия принимают нулевые значения: F (0, То) = 0, s (0, То) = = 0. Это просто означает выбор соответствующей точки отсчета для термодинамических функций и переменных. Тогда, используя значения параметров в естественном состоянии, получим выражения для первых производных разложения свободной энергии:

Подставляя их в (5.18) и обозначая вторые производные.

получим свободную энергию в функции ее естественных переменных:

Теперь, используя (5.16), можно получить соотношения, связывающие напряжения с деформациями и температурным полем:

называемые законом Дюалгеля — Неймана. Входящие сюда константы djki — компоненты тензора изотермической упругости — удовлетворяют отношениям симметрии: djki = Cjikl, Cijkl — Cijlky Cijkl ⁼ = Ckuj. Условия симметрии снижают число независимых констант до 21.

Соотношения (5.19) можно обратить — представить компоненты тензора деформаций в виде линейных функций компонентов тензора напряжений и температуры. В полученной системе соотношений.

коэффициенты Sijki — компоненты тензора изотермической податливости, и для них имеют место те же условия симметрии; } - симметрический тензор коэффициентов теплового расширения. Как любой симметрический тензор, он может быть приведен к диагональному виду, следовательно, в главных осях он определяется тремя независимыми компонентами.

Таким образом, в общем случае связь напряженного и деформированного состояний определяется линейными соотношениями, в которые входят 21 независимая упругая константа и три независимых коэффициента термического расширения. Условия симметрии и изотропия свойств среды уменьшают общее число констант, необходимых для описания определяющих соотношений. Так, в случае полной изотропии свойств взаимосвязь определяется двумя упругими и одной термической константами.