Рекурсивные фильтры. 
Медицинская электроника: основы биотелеметрии

Наряду с нерекурсивными фильтрами широкое применение находят рекурсивные фильтры. Рекурсивные цифровые фильтры описываются общим алгоритмом.

где а_к и Ь_к — весовые коэффициенты, характеризующие усиление нерекурсивной и рекурсивной частей цифрового фильтра.

На рис. 7.41 изображена схема цифрового фильтра, соответствующего алгоритму (7.49).

Рис. 7.41.

Как следуег из рис. 7.41, отличительной черюй рекурсивною цифрового фильтра является наличие цепи обратной связи. Физически это означает, что для вычисления значения выходного сигнала у_п на n-м шаге используется не только отсчет входного сигнала х", но и значение отсчета у_п_, на предыдущем шаге.

Применив к (7.48) прямое z-преобразование, негрудно получить передаточную функцию рекурсивного фильтра:

Причем, как следует из уравнения (7.50), коэффициенты а_к в числителе определяют нерекурсивную, а коэффициенты Ь_к в знаменателе — рекурсивную часть передаточной функции ЦФ.

Как следует из схем ЦФ, изображенных на рис. 7.40, 7.41, основными операциями при цифровой обработке являются операции умножения сигнала и сдвига (задержки).

Основным преимуществом алгоритма рекурсивной фильтрации является то, что с его помощью можно реализовать фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), поэтому рекурсивные ЦФ называют еще фильтрами с БИХ. В отличие от них нерекурсивные ЦФ называются фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ). Преимуществом фильтров с КИХ является их устойчивость. Для проверки условий устойчивости фильтров с БИХ необходимо определить расположение полюсов передаточной функции (7.49). Для устойчивости ЦФ полюса должны лежать внутри окружности единичного радиуса.

В качестве примера определим импульсную и передаточную функции рекурсивного ЦФ, изображенного на рис. 7.42, и оценим его устойчивость.

Рис. 7.42.

Алгоритм этого фильтра согласно (7.48) будет иметь вид а передаточная функция (7.49) — вид:

Нули H (z) z₀ = -1, полюса z_m = 0,1 < z = 1, т. е. полюса лежат внутри единичного круга, следовательно, ЦФ устойчив.

Для уменьшения числа линий задержки вместо схемы, изображенной на рис. 7.41, применяют гак называемую каноническую схему ЦФ, показанную на рис. 7.43.