Деформации при изгибе

Как было отмечено выше, при изгибе ось стержня искривляется, и, следовательно, точки, лежащие на ней, получают некоторые перемещения. Эти перемещения по сравнению с длиной стержня настолько малы, что направления их можно считать перпендикулярными первоначальному положению оси стержня. Эти перемещения принято называть прогибами.

Рис. 10.23.

Рассмотрим простую балку (рис. 10.23). Перемещение любой точки ее оси может быть описано двумя параметрами: вертикальным перемещением у (х) и углом поворота сечения 0(х). Углы поворота сечений равны углам наклона к оси абсцисс касательной к оси изогнутой балки, т. е.

или при малых прогибах.

Таким образом, определение прогибов и углов поворота сечений сводится к нахождению уравнения, описывающего кривизну изогнутой оси стержня. В случае чистого изгиба это уравнение нетрудно записать, так как кривизна оси описывается формулой (10.7). В общем случае изгиба формулу (10.7) можно рассматривать как приближенную. Поперечная сила влияет на кривизну, а следовательно, и на прогибы оси стержня. Однако, как показали многочисленные исследования, влияние поперечной силы на прогибы стержней невелико и имеет тем меньшее значение, чем меньше отношение высоты сечения стержня h к его длине /. Например, при отношении h / I = 0,1 ошибка при определении прогибов составляет не более 3%.

Как известно из курса высшей математики, выражение кривизны некоторой кривой при принятом на рис. 10.23 направлении координатных осей у их имеет вид.

Зависимость (10.18) можно упростить, исходя из допущения о малости прогибов по сравнению с длиной стержня. В этом случае невелик и угол поворота, т. е. можно считать, что 9 имеет тот же порядок малости, что и прогиб. Следовательно, величиной (у')² в уравнении (10.18) можно пренебречь как величиной второго порядка малости.

Тогда на основании формул (10.7) и (10.18), опуская для краткости индекс z в обозначении момента инерции поперечного сечения, получим.

Полученное уравнение (10.19) называется приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня.

Формула (10.19) показывает, что прогибы изгибаемого стержня (через вторую производную) обратно пропорциональны изгибной жесткости EI, т. е. чем больше жесткость поперечного сечения, тем меньше прогибы. Так как одной из доминирующих составляющих изгибной жесткости является осевой момент инерции 1₂, его влияние на деформации легко проиллюстрировать на достаточно простом примере.

Рис. 10.24.

Рассмотрим одну и ту же деревянную балку (рис. 10.24) в виде доски с размерами поперечного сечения b х h, но по-разному уложенную на опоры: «плашмя» и «на ребро». Момент инерции сечения (см. нрил. 5) относительно оси z во втором случае будет в (h / b)² раз больше, чем в первом. Очевидно, что при установке «на ребро» балка меньше прогнется и выдержит большую нагрузку, чем в положении «плашмя».

Уравнение (10.19) решается непосредственным интегрированием. Произвольные постоянные, появляющиеся при интегрировании, определяются из граничных условий, зависящих от способов закрепления концов стержня или других его сечений.

Величины прогибов в характерных точках простых балок при простейших загружениях приведены на рис. 10.6—10.10.

Покажем, что определение прогибов и углов поворота для простейших расчетных схем, какими являются однопролетные и консольные балки, при простейших загружениях нс представляет затруднений, как это видно из приведенных ниже примеров.

1. Балка загружена вертикальной силой F (см. рис. 10.6).

Для определения величин перемещений необходимо рассмотреть два участка, гак как изгибающий момент представляется на обоих участках разными выражениями.

Воспользуемся результатами решения для этой балки, полученными в параграфе 10.2.

Участок 1 (0 < х < а).

Участок 2 (а <�х < /).

На основании формулы (10.19) получаем дифференциальные уравнения для каждого участка.

Участок 1 (0 < х < а).

Участок 2 (а <�х < I).

Проинтегрировав каждое уравнение отдельно, получим.

В полученные выражения вошли четыре произвольные постоянные, граничные условия для определения которых следующие:

• 1) при х = 0 у_х = 0;
• 2) при х -1 уч = 0;
• 3) при х = а у_{ =у₂;
• 4) при х = а у[ = у'₂.

Из последних двух условий найдем, что C_t = D_{, С₂ = D₂, а из первых двух найдем

Таким образом, для определения прогибов сечений балки мы имеем уравнения.

Подставив в выражение у_i координату точки приложения х = а, определим прогиб балки в месте приложения силы F:

2. Балка загружена равномерно распределенной нагрузкой q (см. рис. 10.8).

Воспользуемся результатами решения для этой балки, полученными в параграфе 10.2.

Характер нагрузки по всей длине балки не меняется, поэтому для вычисления поперечной силы и изгибающего момента будем иметь только один участок.

Таким образом, М = ?М^ЛЕВ = V_Ax — qx • 0,5х = 0,5qx (l — х). На основании формулы (10.19) получаем дифференциальное уравнение для всей балки:

Проинтегрировав это уравнение дважды, получим.

Произвольные постоянные, входящие в полученные выражения, определим из следующих граничных условий:

• 1) при х = 0 у = 0;
• 2) при х = I у = 0.

Используя эти условия, найдем.

и, следовательно, выражения для прогибов и углов поворота поперечных сечений балки примут вид.

Балка изгибается по параболе четвертого порядка. Наибольший прогиб имеет место в сечении, которое определяется из условия у' - 0, чему соответствует х — 0,5/, т. е.

Как видно из показанных примеров, определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня даже для простейших расчетных схем достаточно трудоемко. Поэтому в инженерных расчетах для определения перемещений различных сечений расчетных схем используются другие способы, которые будут показаны в гл. 12.