Внецентренное сжатие. 
Понятие о ядре сечения

При нагружении стержня внецентренно приложенной сжимающей силой, параллельной его продольной оси, задача сводится к рассмотрению случая сочетания изгиба со сжатием.

Рассмотрим сначала случай, когда линия действия сжимающей силы F находится в плоскости, проходящей через главную ось инерции сечения на некотором расстоянии от центра тяжести сечения (рис. 11.12, а).

Рис. 11.12.

Расстояние е от точки приложения до центра тяжести сечения называется эксцентриситетом приложения силы.

На основании принципа приведения силы к заданному центру (см. подпараграф 2.3.3) силу F перенесем параллельно самой себе в центр тяжести сечения с добавлением момента (пары сил) М = Fe (рис. 11.12, б), действующего в той же плоскости, что и сила F.

Применив метод сечений, легко показать, что в любом поперечном сечении стержня будут действовать два усилия: продольная сила N = -F и изгибающий момент М₂ = Fe.

Следовательно, мы имеем сочетание плоского чистого изгиба со сжатием, и напряжения в любом сечении стержня могут быть определены по формуле (11.12). При этом каждое слагаемое подставляется со своим знаком, определяемым по характеру деформации стержня, т. е. при указанном на рис. 11.12. а направлении главных осей инерции формула (11.12) примет вид.

Если поперечное сечение симметрично относительно оси г, то значения максимальных и минимальных напряжений для наиболее удаленных волокон можно записать в виде.

а для прямоугольного сечения при А = Ыг и W_z = Ыг² / 6 формулы (11.16) после несложных преобразований примут вид.

Анализ формулы (11.17) приводит к следующим положениям (рис. 11.13):

• — при е < к/6 напряжения в сечении будут одного знака, а нулевая линия эпюры нормальных напряжений, а находится за пределами сечения;
• — при е = к/6 напряжения в сечении будут одного знака, нулевая линия эпюры нормальных напряжений, а совпадает с гранью сечения; наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение в два раз больше напряжения, возникающего при центральном сжатии;
• — при е > к/6 напряжения в сечении будут разных знаков, а нулевая линия эпюры нормальных напряжений, а находится за пределами сечения.

Приведенные положения имеют большое практическое значение. Например, для каменных и бетонных конструкций появление растягивающих напряжений в сечении нежелательно, а часто и просто недопустимо, так как эти материалы плохо работают на растяжение. Следовательно, для этих конструкций необходимо так подобрать размеры поперечного сечения или обеспечить передачу на них нагрузки, чтобы точка приложения нагрузки не выходила за пределы средней трети сечения, т. е. соответствовала рис. 11.13, а либо, в крайнем случае — рис. 11.13, б.

Аналогичный анализ можно провести и при пространственном характере приложения силы Е (рис. 11.14, а).

Для данного случая в принятой системе координат и при указанном расположении силы F получим в любом сечении.

где е_2У е_у — эксцентриситеты приложения силы относительно осей z и у.

Рис. 11.14.

Подставив значения усилий со своими знаками, учитывающими характер деформации стержня, в (11.11), получим

где if, Ц — квадраты радиусов инерции сечения относительно осей 2 и у.

Уравнение прямой, на которой, а = 0 (нулевой линии), получим на основании (11.18):

или, введя обозначения окончательно запишем.

где а_у и а_г — отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат у и z.

Как видно из формулы (11.19), положение нулевой линии N — N (рис. 11.14, 6) зависит от положения полюса Л — точки приложения силы F.

Если полюс А приближать к началу координат, то прямая N — N удаляется от начала координат и при некотором положении полюса с координатами (z_py у_р) займет такое положение, что все поперечное сечение окажется по одну сторону от нулевой линии. В этом случае прямая N — N будет касаться контура сечения (по аналогии с рис. 11.13, б для плоской задачи).

Следовательно, можно решить обратную задачу: последовательно проводя серию линий N— N, касающихся контура поперечного сечения, можно найти координаты (z_p, у_р) полюсов, соответствующих этим линиям. Эти полюса расположатся по замкнутой кривой или ломаной линии (в зависимости от контура сечения) и образуют область, при помещении в которую действующей сжимающей силы F напряжения во всем сечении всегда будут одного знака. Эту область принято называть ядром сечения.

Рис. 11.15.

На рис. 11.15 изображены ядра сечений для некоторых наиболее распространенных типов сечений.